원의 방정식 (중심·반지름·직선과의 관계)대수·기하

일반형을 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 구하고, 직선을 넣으면 만나는지 접하는지 판정합니다.

수학 계산기다른 18종

원: x² + y² + Ax + By + C = 0

직선: ax + by + c = 0 (선택)

값을 넣으면 결과가 나옵니다.

점과 직선 사이 거리 공식 d = |ax₀+by₀+c| ÷ √(a²+b²) 를 씁니다.

원의 방정식: x² + y² + Ax + By + C = 0 의 A, B, C 를 넣으면 중심과 반지름, 완전제곱 꼴이 나옵니다.
원의 넓이: 같은 칸에 A, B, C 를 넣으면 원의 넓이와 둘레가 나옵니다. 반지름만 아는 원이면 A=0, B=0, C=−r² 을 넣으면 됩니다.
원과 직선: 직선 ax + by + c = 0 의 a, b, c 를 넣으면 중심에서 직선까지의 거리와 만나는지 접하는지가 나옵니다.

원의 일반형을 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 구하고, 직선을 넣으면 만나는지 접하는지 판정합니다. x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 의 중심은 (2, −1), 반지름은 3입니다.

표준형은 (x − a)² + (y − b)² = r² 이고, 중심이 (a, b), 반지름이 r 입니다.

일반형 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 에서는 중심이 (−D/2, −E/2) 이고 반지름은 √(D²/4 + E²/4 − F) 입니다. 이 값의 제곱근 안이 음수면 그런 원은 존재하지 않습니다.

직선과의 위치 관계는 중심에서 직선까지의 거리 d를 반지름 r과 비교해 판정합니다. d < r 이면 두 점에서 만나고, d = r 이면 접하고, d > r 이면 만나지 않습니다.

제곱근 안이 음수면 원이 아닙니다

일반형의 계수 조합에 따라 반지름의 제곱이 음수가 되면 그래프에 아무것도 없습니다. 0이면 한 점입니다. '반지름이 허수인 원'은 없습니다.

중심 좌표의 부호를 뒤집어 읽지 마세요

(x − 2)² 의 중심 좌표는 2이고, (x + 2)² 는 −2 입니다. 일반형에서 −D/2 를 계산할 때도 부호를 두 번 뒤집게 되니 조심하세요.

판별식 대신 거리 공식을 쓰는 편이 빠릅니다

직선을 원에 대입해 이차방정식을 세우고 판별식을 봐도 되지만, 점과 직선 사이의 거리 공식이 계산이 훨씬 짧습니다.

접선의 방정식도 구할 수 있나요?

원 위의 점에서의 접선은 그 점과 중심을 잇는 반지름에 수직입니다. 이 도구는 위치 관계 판정까지 하고, 접선 식은 기울기를 이용해 세우면 됩니다.

두 원의 관계도 되나요?

이 계산기는 원과 직선을 다룹니다. 두 원은 중심 사이의 거리를 두 반지름의 합·차와 비교해 판정합니다.