이차함수 그래프 (꼭짓점·최대최소)대수·기하

포물선은 축에 대해 좌우 대칭이라, 축만 알면 한쪽 값으로 반대쪽 값을 바로 알 수 있습니다. 두 x절편의 한가운데가 축이라는 성질도 자주 쓰입니다.

이 계산기는 계수를 넣는 방식입니다. 세 점이 주어졌다면 연립방정식으로 a, b, c 를 먼저 구한 뒤 넣으세요.

y = ax² + bx + c 를 표준형으로 고쳐 꼭짓점·축·x절편을 구하고, 그래프를 그려 줍니다.

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정의역 시작 (선택)

정의역 끝 (선택)

값을 넣으면 결과가 나옵니다.

표준형 y = a(x − p)² + q 로 고쳐 꼭짓점을 읽습니다. 정의역을 넣으면 그 구간의 최대·최소만 계산합니다.

이차함수: a, b, c 를 넣으면 꼭짓점·대칭축·x절편·y절편이 나옵니다.
이차함수 그래프: a, b, c 를 넣으면 그래프가 그려지고 아래로 볼록인지 위로 볼록인지 나옵니다.
꼭짓점: a, b, c 를 넣으면 꼭짓점 좌표와 y = a(x − p)² + q 꼴 식이 나옵니다.
함수 그래프: 이차함수 y = ax² + bx + c 만 그립니다. 정의역 시작·끝(선택)을 넣으면 그 구간의 최댓값과 최솟값이 나옵니다.

y = ax² + bx + c 를 표준형으로 고쳐 꼭짓점·축·x절편을 구하고 그래프를 그려 줍니다. y = x² − 4x + 3 의 꼭짓점은 (2, −1)입니다.

완전제곱식으로 고치면 y = a(x − p)² + q 가 되고, 꼭짓점이 (p, q), 축이 x = p 입니다. 이 과정을 완전제곱꼴로 만들기라고 합니다.

계산으로는 p = −b ÷ 2a 이고, q는 그 x를 원식에 넣은 값입니다. 이차함수의 최댓값·최솟값 문제는 사실상 이 한 점을 찾는 문제입니다.

a > 0 이면 아래로 볼록이라 꼭짓점에서 최솟값을 갖고, a < 0 이면 위로 볼록이라 최댓값을 갖습니다. a의 절댓값이 클수록 그래프가 좁아집니다.

구간이 주어지면 꼭짓점이 답이 아닐 수 있습니다

정의역이 제한된 최대·최소 문제에서 꼭짓점이 그 구간 밖에 있으면, 최댓값과 최솟값은 구간의 양 끝에서 나옵니다. 꼭짓점을 반사적으로 답하면 틀립니다.

표준형의 부호를 조심하세요

y = (x − 3)² 의 꼭짓점은 (3, 0)이지 (−3, 0)이 아닙니다. 괄호 안의 부호와 좌표의 부호는 반대입니다.

x절편이 없을 수도 있습니다

판별식이 음수면 그래프가 x축과 만나지 않아 x절편이 없습니다. y절편은 항상 c로 존재합니다.

축의 방정식은 왜 필요한가요?

포물선은 축에 대해 좌우 대칭이라, 축만 알면 한쪽 값으로 반대쪽 값을 바로 알 수 있습니다. 두 x절편의 한가운데가 축이라는 성질도 자주 쓰입니다.

세 점을 지나는 이차함수를 구할 수 있나요?

이 계산기는 계수를 넣는 방식입니다. 세 점이 주어졌다면 연립방정식으로 a, b, c 를 먼저 구한 뒤 넣으세요.