접선의 방정식 계산기 - 다항함수 미분수학Ⅰ·수학Ⅱ

다항식을 넣으면 도함수와 이계도함수, 그리고 원하는 점에서의 접선을 구합니다. 극값과 변곡점도 함께 찾습니다.

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f(x)

접점 x =

값을 넣으면 결과가 나옵니다.

다항함수만 다룹니다. 실근·극값은 −60 ≤ x ≤ 60 구간을 수치로 훑어 찾으므로 그 밖의 근은 잡히지 않습니다.

미분은 다항식 계수를 직접 내리는 정확한 계산이고, 근찾기만 수치해법(이분법)입니다.

다항식을 넣으면 도함수와 이계도함수가 나오고, 원하는 점에서의 접선까지 구합니다. y = x³ − 3x 라면 도함수는 3x² − 3 이고, x = 1에서의 접선은 y = −2 입니다.

다항함수의 미분은 지수를 앞으로 내리고 지수를 1 줄이는 것입니다. xⁿ 의 도함수는 n·xⁿ⁻¹ 이고, 상수의 도함수는 0입니다.

도함수 f'(a)의 값이 x = a 에서의 접선의 기울기입니다. 그래서 접선의 방정식은 y − f(a) = f'(a)(x − a) 가 됩니다.

f'(x) = 0 인 점 주변에서 도함수의 부호가 바뀌면 그 점이 극값입니다. 이계도함수 f''(x)의 부호가 바뀌는 점이 변곡점이고, 그래프의 휘는 방향이 바뀌는 자리입니다.

f'(x) = 0 이라고 다 극값은 아닙니다

y = x³ 은 x = 0 에서 도함수가 0이지만 극값이 아닙니다. 도함수가 0이 되면서 부호가 바뀌어야 극값입니다. 부호 변화를 확인하지 않고 답하면 이 함정에 걸립니다.

접선과 '지나는 직선'은 다릅니다

'점 (a, b)를 지나는 접선'을 구하라는 문제에서 (a, b)가 곡선 위의 점이 아닐 수 있습니다. 이때는 접점을 t로 두고 세워야 하며, 접선이 두 개 이상 나오기도 합니다.

극값과 최댓값은 다릅니다

극값은 주변보다 크거나 작다는 국소적인 성질입니다. 닫힌 구간에서 최댓값을 구하려면 극값과 함께 구간의 양 끝 값도 비교해야 합니다.

다항식이 아닌 함수도 되나요?

이 계산기는 다항함수 전용입니다. 삼각함수나 지수·로그가 섞인 함수의 미분은 곱의 미분법·합성함수 미분법이 필요해 별도로 다룹니다.

이계도함수는 왜 보나요?

f''(x) > 0 이면 그래프가 아래로 볼록이라 그 극값이 극소이고, f''(x) < 0 이면 극대입니다. 부호 표를 그리지 않고 극값의 종류를 판정할 때 씁니다.