부호 (-1)^{a_n}를 공비에 흡수하면, 답은 분모 싸움
a_n이 정수라 \cos(a_n\pi)=(-1)^{a_n}은 부호 스위치일 뿐. 공차 d가 홀수면 교대(−r), 짝수면 동부호(+r). 최솟값은 분모 1+r이 가장 큰 홀수 공차에서 나옵니다.
모든 항이 정수인 등차수열 \{a_n\}과 모든 항이 양수인 등비수열 \{b_n\}이 다음을 만족시킨다.
(가) a_1=b_1, a_4=b_2 (나) 어떤 자연수 k에 대하여 a_k=b_3
급수 \sum_{n=1}^{\infty} b_n이 수렴할 때, \left|\,\sum_{n=1}^{\infty} b_n\cos(a_n\pi)\,\right| 의 최솟값을 m이라 하자. 10\times m의 값을 구하시오. [4점]
\cos(a_n\pi)=(-1)^{a_n} → 공비를 \pm r로, 최솟값은 \dfrac{a_1}{1+r}
수렴 \Rightarrow 0
후보: 짝수 공차 (d,k)=(-2,5) [r=\tfrac13] → 동부호, 합 \dfrac{a_1}{1-r}; 홀수 공차 (d,k)=(-1,6) [r=\tfrac23] → 교대, 합 \dfrac{a_1}{1+r}.
분모가 더 큰 홀수 공차가 최소: m=\dfrac{9}{1+\tfrac23}=\dfrac{9}{5/3}=\dfrac{27}{5}.
▶핵심을 눈으로 확인 — 부호 교대 패턴
이 문항은 곡선·좌표 그래프가 부적합(이산 수열·부호·급수 합)하여 인터랙티브 캔버스를 생략합니다. 대신 확정 구성 a_1=9,\,d=-1,\,r=\tfrac23의 a_n·부호 (-1)^{a_n}·b_n을 정적 표/막대로 보여 줍니다. 공차 d=-1(홀수)이라 부호가 교대(− + − + …)하는 것이 핵심입니다.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a_n=10-n | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 |
| (-1)^{a_n} | − | + | − | + | − | + |
| b_n=9\left(\tfrac23\right)^{n-1} | 9 | 6 | 4 | \tfrac83 | \tfrac{16}{9} | \tfrac{32}{27} |
1풀이 1 — 공차 홀짝 분류
a_n이 정수이므로 \cos(a_n\pi)=(-1)^{a_n}. 공차의 홀짝이 부호 패턴을 결정합니다.
2풀이 2 — 부호를 공비에 흡수
경우 분류 없이, 부호 (-1)^{a_n}을 등비수열의 공비에 합쳐 한 줄로 정리합니다.
검산 — 확정 구성이 모든 조건을 만족하나?
a_1=9,\,d=-1,\,r=\tfrac23: b_1=9,\;b_2=6=a_4,\;b_3=4=a_6 모두 양수·정수 ✓,
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