2027 6월 모평 · 미적분 · 수열의 극한(등비급수)
부호 (-1)^{a_n}를 공비에 흡수하면, 답은 분모 싸움
문제2027학년도 6월 모의평가 · 미적분 29번 · 수열의 극한·등비급수
모든 항이 정수인 등차수열 \{a_n\}과 모든 항이 양수인 등비수열 \{b_n\}이 다음을 만족시킨다.
(가) a_1=b_1, a_4=b_2
(나) 어떤 자연수 k에 대하여 a_k=b_3
급수 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n이 수렴할 때, \left|\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\cos(a_n\pi)\right|의 최솟값을 m이라 하자. 10\times m의 값을 구하시오. [4점]
정답10m=54
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①공차 홀짝이 부호 패턴을 결정 — 홀수 공차가 최소!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① a_n이 정수이므로 \cos(a_n\pi)=(-1)^{a_n}은 부호 스위치. 공차 d가 홀수면 교대, 짝수면 동부호.
원리② 수렴·정수 조건으로 a_1=9, r=\tfrac23(d=-1) 또는 r=\tfrac13(d=-2)로 후보가 좁혀진다.
분모가 더 큰 교대급수(홀수 공차, 분모 1+r)가 절댓값을 최소화한다'는 연결을 잡아라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
없음(조합/급수). 본 HTML에는 a_n·부호·b_n의 정적 표와 막대 그래프만 있고 인터랙티브 캔버스 없음. 정적 표: a_n=10-n, (-1)^{a_n}(홀수항 −, 짝수항 +), b_n=9(\tfrac23)^{n-1}을 n=1\sim6에 대해 표시.
이 문항은 조합·급수·이산 구조라 직접 조작형 그래프 대신 표·도식으로 이해합니다. (위 단계별 풀이 참고)
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1부호는 공차가 결정
(-1)^{a_n}=(-1)^{a_1}(-1)^{(n-1)d}. d 짝수 → 모든 항 같은 부호; d 홀수 → 항마다 부호 교대.
2수렴·정수 조건으로 a_1 고정
수렴 \Rightarrow 0<r<1, b_1>0. r=\dfrac{a_1+3d}{a_1}, b_3=\dfrac{(a_1+3d)^2}{a_1}가 정수 항이어야. d=-1이면 a_1\mid(a_1-3)^2\Rightarrow a_1\mid9\Rightarrow a_1=9.
3두 후보
(d,k)=(-2,5): r=\tfrac13,\,b_3=1=a_5 (짝수 공차·동부호). (d,k)=(-1,6): r=\tfrac23,\,b_3=4=a_6 (홀수 공차·교대).
4|S| 비교
d 짝수: |S|=\dfrac{a_1}{1-r}; d 홀수: |S|=\dfrac{a_1}{1+r}. 분모가 더 큰 홀수 공차가 최소. m=\dfrac{9}{1+\tfrac23}=\dfrac{27}{5}.
5정답
10m=10\cdot\dfrac{27}{5}=54.
접근법 ②부호를 공비에 흡수 — 한 줄로 합 공식 완성!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① S=\sum b_n(-1)^{a_n}=(-1)^{a_1}\dfrac{b_1}{1-(-1)^d r} — 부호를 공비 (-1)^d r에 흡수하면 등비급수 공식 한 줄.
원리② |S|=\dfrac{a_1}{|1-(-1)^d r|}에서 분모를 최대로 해야 |S|가 최소 → 홀수 공차((-1)^d=-1)일 때 분모 =1+r이 최대.
홀수 공차 후보 중 b_3=a_k 정수 조건을 만족하는 최대 r을 찾으면 끝'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
없음(조합/급수). 접근법①과 동일.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1합을 등비급수로
S=\sum b_n(-1)^{a_n}=(-1)^{a_1}\sum b_1\bigl((-1)^d r\bigr)^{n-1}=(-1)^{a_1}\dfrac{b_1}{1-(-1)^d r}.
2홀수 공차가 분모 최대
|S|=\dfrac{a_1}{|1-(-1)^d r|}. d 홀수면 분모 1+r(최대) → |S| 최소. |S|=\dfrac{9}{1+r}.
3허용되는 최대 r
홀수 공차 후보 중 b_3=a_k 정수 조건을 만족하는 r=\tfrac23 (d=-1, k=6). 그러므로 m=\dfrac{9}{1+\tfrac23}=\dfrac{27}{5}.
4정답
10m=54. 풀이 1과 일치.
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