2027 6월 모평 · 공통수학 · 미분(삼차함수)
'가장 오른쪽 근'이 한 점에서 튄다
문제2027학년도 6월 모의평가 · 공통 21번 · 최대근 함수의 불연속
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 있다. 실수 t에 대하여
f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4를 만족시키는 실수 \alpha의 최댓값을 g(t)라 하자.
g(t)가 t=3에서만 불연속이고 g(3)=1일 때, f(2)의 값을 구하시오.
정답f(2)=11
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①수평선이 극솟값에 닿을 때만 최우측 교점이 튄다!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 삼차함수에 수평선 y=v를 그으면 가장 오른쪽 교점은 v가 극솟값을 지나는 순간 점프한다(불연속).
원리② 높이 h(t)=f'(t)-4t^2+4는 위로 볼록한 포물선이라 최댓값을 꼭짓점에서 한 번만 찍는다.
불연속이 t=3 한 번뿐' = 꼭짓점이 t=3이고 그때 값이 극솟값. g(3)=1은 극소 위치를 x=1로 고정한다 — 이 두 연결이 f를 확정한다.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 상단 캔버스: 삼차함수 y=f(x)와 수평선 y=h(t) 동시 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1높이 곡선의 꼭짓점이 t=3
f'(t)=3t^2+2At+B에서 h(t)=f'(t)-4t^2+4=-t^2+2At+(B+4)(위로 볼록). 불연속이 한 번뿐 ⇒ h가 극솟값에 꼭짓점에서만 닿음 ⇒ 꼭짓점 t=A=3.
2g(3)=1 ⇒ 극소 위치 x=1
불연속 순간의 최대 교점 = 극소의 x좌표. g(3)=1이므로 f'(1)=0. 그러면 f'(x)=3(x+3)(x-1)(극대 x=-3, 극소 x=1).
3최댓값 h(3) = 극솟값 f(1)
\max h=h(3)=4=f(1). f(x)=x^3+3x^2-9x+r에서 f(1)=-5+r=4\Rightarrow r=9.
4정답
f(x)=x^3+3x^2-9x+9, f(2)=8+12-18+9=11.
접근법 ②미정계수로 조건을 식으로만 풀기!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 높이함수 h(t)는 위로 볼록한 포물선 — 최댓값을 꼭짓점에서 딱 한 번 찍는다.
원리② g(t)의 불연속은 수평선이 극솟값에 닿을 때만 발생, 횟수 = 극솟값에 도달하는 t의 개수.
그래프 없이 f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C로 두고 세 조건(유일 불연속·꼭짓점·극솟값 일치)을 식으로 풀어라'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1높이함수 h(t) 작성
f'(t)=3t^2+2At+B이므로 h(t)=-t^2+2At+(B+4). 위로 볼록, 꼭짓점 t=A.
2유일 불연속 ⇒ A=3
g(t)는 수평선 y=h(t)가 극솟값을 통과할 때만 점프. h는 최댓값을 꼭짓점에서 단 한 번 찍으므로 불연속이 한 번 ⟺ 꼭짓점 t=A=3.
3g(3)=1\Rightarrow B=-9
그 순간 최우측 근 = 극소의 x좌표 =1. 즉 f'(1)=0: 3+2A+B=3+6+B=0\Rightarrow B=-9.
4\max h = 극솟값 \Rightarrow C=9
\max h=h(3)=-9+18+(B+4)=4. 이것이 극솟값 f(1)=1+A+B+C=C-5. C-5=4\Rightarrow C=9.
5정답
f(x)=x^3+3x^2-9x+9\Rightarrow f(2)=11. 풀이 1과 동일.
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