2027 6월 모평 · 공통수학 · 미분(삼차함수) · 난이도 ★★★★☆
“가장 오른쪽 근”이 한 점에서 튄다
수평선을 삼차함수에 그어 가장 큰 교점을 따라가면, 그 값은
극솟값을 지나는 순간 딱 한 번 점프합니다. 그 점프가 일어나는 자리가 정답의 열쇠입니다.
문제
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 있다. 실수 t에 대하여
f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4 를 만족시키는 실수 \alpha의 최댓값을 g(t)라 하자.
g(t)가 t=3에서만 불연속이고 g(3)=1일 때, f(2)의 값을 구하시오.
한 번에 이해하는 핵심
불연속 ⇔ 수평선이 극솟값을 지날 때
삼차함수에 수평선 y=v를 그으면 가장 오른쪽 교점은 보통 매끄럽게 움직이다가,
v가 극솟값 밑으로 내려가는 순간 오른쪽 가지가 사라지며 왼쪽 가지로 ‘툭’ 떨어진다(불연속).
높이 h(t)=f'(t)-4t^2+4는 위로 볼록한 포물선이라 최댓값을 딱 한 번(꼭짓점) 찍는다.
그래서 “불연속이 t=3 한 번뿐” = 꼭짓점이 t=3, 그때 값이 극솟값.
g(3)=1은 그 극소가 x=1에서 일어남을 뜻한다.
정답 f(2)=11 (f(x)=x^3+3x^2-9x+9)
▶핵심을 눈으로 확인
t를 움직이면 위 그래프의 수평선 y=h(t)가 오르내리고,
초록점(가장 오른쪽 교점=g)이 따라 움직입니다. 아래 그래프는 그렇게 그린 g(t) — t=3에서만 위로 튀는 점이 보이죠.
y=f(x)
y=h(t) (수평선)
가장 오른쪽 교점 = g(t)
극소 (1,\,4)
1풀이 1 — 그래프로 읽기 (최우측 교점 추적)
위 인터랙티브의 직관을 그대로 논증으로 옮깁니다.
높이 곡선의 꼭짓점이 t=3
f'(t)=3t^2+\cdots에서 4t^2을 빼면 h(t)=-t^2+2pt+(q+4)(위로 볼록). 불연속이 한 번뿐 ⇒ h가 극솟값에 꼭짓점에서 접함 ⇒ 꼭짓점 t=p=3.
g(3)=1 ⇒ 극소 위치 x=1
불연속 순간의 최대 교점 = 극소의 x좌표. g(3)=1이므로 f'(1)=0. 그러면 f'(x)=3(x+3)(x-1) (극대 x=-3, 극소 x=1).
최댓값 h(3)=극솟값 f(1)
\max h=h(3)=4=f(1). f(x)=x^3+3x^2-9x+r에서 f(1)=-5+r=4\Rightarrow r=9.
정답
f(x)=x^3+3x^2-9x+9, f(2)=8+12-18+9=11.
2풀이 2 — 미정계수로 직접 계산 (대수)
그래프 없이 f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C로 두고 조건을 식으로만 풉니다.
높이함수 h(t) 작성
f'(t)=3t^2+2At+B 이므로 h(t)=f'(t)-4t^2+4=-t^2+2At+(B+4). 위로 볼록, 꼭짓점 t=A.
유일 불연속 ⇒ A=3
g(t)=\max\{\alpha: f(\alpha)=h(t)\}는 수평선 y=h(t)가 극솟값을 통과할 때만 점프한다. h는 최댓값을 꼭짓점에서 단 한 번 찍으므로, 불연속이 한 번 ⟺ 꼭짓점에서만 극솟값에 도달 ⟺ 꼭짓점 t=A=3.
g(3)=1 \Rightarrow B=-9
그 순간 최우측 근 = 극소의 x좌표 =1. 즉 f'(1)=0: 3+2A+B=3+6+B=0\Rightarrow B=-9. (극소 x=1, 극대 x=-3.)
\max h = 극솟값 \Rightarrow C=9
\max h=h(3)=-9+18+(B+4)=4. 이것이 극솟값 f(1)=1+A+B+C=1+3-9+C=C-5. C-5=4\Rightarrow C=9.
정답
f(x)=x^3+3x^2-9x+9 ⇒ f(2)=11. (풀이 1과 동일.)
검산 — 정말 t=3에서만 불연속인가?
h(t)=-t^2+6t-5\le4, 등호는 t=3에서만. 그 한 점에서만 수평선이 극솟값에 닿아 최대근이 x=1로 튀고, 다른 t에서는 v<4라 교점이 왼쪽 가지 하나뿐 → 연속. 조건이 정확히 재현됩니다. ✓
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