2027 7월 학평 · 공통수학 · 함수의 극한과 그래프 개형 추론
그래프가 '점프'하는 순간이 정확히 두 번뿐이라는 단서
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 공통 21번 · 구간이 갈라진 이차함수와 |f(x)|=t의 실근 개수
두 양수 a, b에 대하여 함수 f(x)는
f(x)=\begin{cases}(x-a)(x-4)&\left(a\le x\le\dfrac32a\right)\\[4pt](x-a)(x-b)&\left(x<a\text{ 또는 }x>\dfrac32a\right)\end{cases}
이다. 양의 실수 t에 대하여 x에 대한 방정식 \lvert f(x)\rvert=t의 서로 다른 실근의 개수를 g(t)라 하자. 함수 g(t)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \displaystyle\lim_{t\to0+}g(t)=6
(나) 함수 g(t)는 t=\alpha, t=\beta\ (\alpha\ne\beta)에서만 불연속이고, \displaystyle\lim_{t\to\alpha+}g(t)=\lim_{t\to\beta-}g(t)=1이다.
f(0)=p+q\sqrt2일 때, p^2+q^2의 값을 구하시오. (단, p와 q는 유리수이다.) [4점]
정답320
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①세 근 a,b,4를 먼저 배치하고, 두 점프의 크기를 방정식으로!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① t\to0+일 때 g(t)=6 ⟺ y=f(x)가 x축과 서로 다른 세 점(x=a,b,4)에서 만난다. 이게 a,b의 대소 관계와 \tfrac32a와 4의 위치를 강제한다.
원리② f는 x=\tfrac32a에서 두 조각의 값이 달라 '뚝' 끊긴다(불연속). 이 점프가 있는 한 그 근방에서 수평선이 두 번 걸리므로, g(t)가 오직 두 점 \alpha,\beta에서만 불연속이려면 점프 앞뒤의 세 값 \lvert f\left(\tfrac{a+4}2\right)\rvert,\ \lvert f\left(\tfrac32a\right)\rvert,\ \lvert f\left(\tfrac{a+b}2\right)\rvert가 전부 같아야 한다.
그림을 그려 점프의 위·아래 극값이 다 겹치는 상황을 대수식 하나로 잡아내라'가 이 문제의 핵심이다.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 상단 캔버스: y=\lvert f(x)\rvert(파랑, x=\tfrac32a에서 끊김) + 수평선 y=t(분홍) + 교점(초록) 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1(가) → 세 점 x=a,b,4에서 부호 변화
t\to0+일 때 g(t)=6이려면 y=f(x)가 x축과 서로 다른 세 점에서 만나야 한다. f의 두 조각이 x=a,4 / x=a,b에서 각각 0이므로 세 근은 a,b,4. 경계 \tfrac32a=4이면 겹쳐서 5개가 되므로 4<\tfrac32a이어야 한다.
2b>\tfrac32a인 경우는 배제
a<4<\tfrac32a, b>\tfrac32a이면 x<a 또는 x>\tfrac32a에서 y=\lvert(x-a)(x-b)\rvert의 개형이 모든 양의 m에 대해 y=m과 2개 이상 만나므로 \lim_{t\to m+}g(t)\ge2가 항상 성립 — 조건
(나)와 모순.
(나)와 모순.
3b<a인 경우, \beta=\left\lvert f\!\left(\tfrac32a\right)\right\rvert
b<a<4<\tfrac32a이면 점프 지점 x=\tfrac32a에서 \lim_{x\to\frac32a+}\lvert f(x)\rvert=k_1이라 할 때, k_1보다 작은 값들에서 교점이 늘 부족 없이 매끈하다가 t=k_1에서 g가 1\to2로 튄다. 그러므로 \beta=k_1=\left\lvert\left(\tfrac{a}2\right)\left(\tfrac32a-b\right)\right\rvert.
4세 값이 전부 같아야 \alpha 하나로 정리
t=\alpha에서도 불연속이려면 \left\lvert f\!\left(\tfrac{a+4}2\right)\right\rvert=\left\lvert f\!\left(\tfrac32a\right)\right\rvert=\left\lvert f\!\left(\tfrac{a+b}2\right)\right\rvert=k_2가 되어야만 여러 개의 불연속점이 하나(\alpha=k_2)로 합쳐진다. \dfrac{(a-4)^2}{4}=\dfrac{a(3a-8)}{4}에서 a^2=8, a>0이므로 a=2\sqrt2.
5정답
\dfrac{(a-b)^2}{4}=\dfrac{(4-a)^2}{4}이고 b<a<4이므로 a-b=4-a, b=2a-4=4\sqrt2-4. f(0)=ab=2\sqrt2(4\sqrt2-4)=16-8\sqrt2이므로 p=16,\ q=-8, p^2+q^2=256+64=320.
접근법 ②불연속 조건을 '방정식'으로 바로 세우기!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① g(t)의 불연속은 오직 f가 끊기는 자리 x=\tfrac32a 주변의 값들이 서로 다를 때만 여러 개 생긴다 — 그러니 '전부 같다'는 조건을 처음부터 등식으로 놓고 풀면 그래프 없이도 같은 결론에 도달한다.
원리② (가)의 세 근 조건과 (나)의 두 불연속 조건을 연립방정식 두 개로 압축하면, a,b에 대한 이차식 두 개만 풀면 끝난다.
그림으로 확인한 구조를 식으로 옮겨 놓으면, 계산은 인수분해 두 번뿐'임을 확인하라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1구조를 먼저 확정
그래프 개형 분석으로 b<a<4<\tfrac32a이고, 불연속이 정확히 두 점이려면 \left\lvert f\left(\tfrac{a+b}2\right)\right\rvert=\left\lvert f\left(\tfrac{a+4}2\right)\right\rvert=\left\lvert f\left(\tfrac32a\right)\right\rvert가 성립해야 함을 안다(풀이 1과 동일한 그래프 논증을 전제).
2첫 번째 식: a 결정
\left\lvert f\left(\tfrac{a+4}2\right)\right\rvert=\left\lvert f\left(\tfrac32a\right)\right\rvert를 전개하면 \dfrac{(a-4)^2}4=\dfrac{a(3a-8)}4\Rightarrow a^2-8a+16=3a^2-8a\Rightarrow a^2=8\Rightarrow a=2\sqrt2\ (a>0).
3두 번째 식: b 결정
\left\lvert f\left(\tfrac{a+b}2\right)\right\rvert=\left\lvert f\left(\tfrac{a+4}2\right)\right\rvert를 전개하면 \dfrac{(a-b)^2}4=\dfrac{(4-a)^2}4이고 b<a<4라는 부등호로 부호를 정하면 a-b=4-a\Rightarrow b=2a-4=4\sqrt2-4.
4정답
f(0)=ab=2\sqrt2(4\sqrt2-4)=16-8\sqrt2=p+q\sqrt2이므로 p=16,\ q=-8. p^2+q^2=256+64=320. 풀이 1과 일치.
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