2027 7월 학평 · 확률과통계 · 이산확률변수의 기댓값
짝수 하나가 몇 번 기록되는지부터 세면 확률질량함수는 저절로
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 확률과통계 29번 · 공 뽑기와 기록 규칙
주머니에 1부터 2n+1까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 2n+1개의 공이 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 시행을 한다.
주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내어 꺼낸 2개의 공에 적혀 있는 두 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.
확인한 두 수가 각각 홀수와 짝수이면 확인한 두 수 중 짝수를 기록하고,
확인한 두 수가 모두 홀수이거나 모두 짝수이면 숫자 0을 기록한다.
이 시행을 한 번 하여 기록한 수를 확률변수 X라 하자.
\mathrm E(X^2)=14\,\mathrm E(X)일 때, \mathrm E\!\left(7X+\dfrac23\right)의 값을 구하시오. (단, n은 자연수이다.)
정답41
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①확률질량함수부터 구해 기댓값 공식으로!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 1부터 2n+1까지 중 홀수는 n+1개, 짝수는 n개. X는 0,2,4,\dots,2n 값을 갖고, 짝수 2i가 기록될 확률은 (그 짝수 1개)×(임의의 홀수 n+1개)의 경우 수를 전체 {}_{2n+1}\mathrm C_2로 나눈 값이라 i에 무관하게 일정하다.
원리② \mathrm E(X), \mathrm E(X^2)를 등차·제곱합 공식으로 정리하면 n만 남는 깔끔한 식이 된다.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
없음(조합/급수). 본 HTML에는 인터랙티브 캔버스 없음.
이 문항은 조합·급수·이산 구조라 직접 조작형 그래프 대신 표·도식으로 이해합니다. (위 단계별 풀이 참고)
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1확률질량함수
\mathrm P(X=0)=\dfrac{{}_n\mathrm C_2+{}_{n+1}\mathrm C_2}{{}_{2n+1}\mathrm C_2}=\dfrac{n}{2n+1}(모두 짝수 또는 모두 홀수). 1\le i\le n인 모든 i에 대해 \mathrm P(X=2i)=\dfrac{{}_1\mathrm C_1\times{}_{n+1}\mathrm C_1}{{}_{2n+1}\mathrm C_2}=\dfrac{n+1}{n(2n+1)}로 일정.
2E(X) 계산
\mathrm E(X)=(2+4+\cdots+2n)\times\mathrm P(X=2)=2\Bigl(1+2+\cdots+n\Bigr)\times\dfrac{n+1}{n(2n+1)}=n(n+1)\times\dfrac{n+1}{n(2n+1)}=\dfrac{(n+1)^2}{2n+1}.
3E(X²) 계산
\mathrm E(X^2)=\{2^2+4^2+\cdots+(2n)^2\}\times\mathrm P(X=2)=4\times\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\times\dfrac{n+1}{n(2n+1)}=\dfrac23(n+1)^2.
4조건식으로 n 결정 후 정답
\dfrac23(n+1)^2=14\times\dfrac{(n+1)^2}{2n+1}에서 2n+1=21, n=10. \mathrm E(X)=\dfrac{121}{21}. \mathrm E\!\left(7X+\dfrac23\right)=7\mathrm E(X)+\dfrac23=\dfrac{121}{3}+\dfrac23=\dfrac{123}{3}=41.
접근법 ②짝수마다 '몇 번 기록되는지'를 직접 세어 이중합으로!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 확률(질량함수)을 먼저 만들지 않고, 2k라는 짝수가 전체 {}_{2n+1}\mathrm C_2가지 추출 중 정확히 몇 번 기록값으로 나오는지부터 직접 센다 — 그 짝수와 짝지어질 수 있는 홀수는 n+1개이므로 n+1번.
원리② 이 '등장 횟수 n+1'을 가중치로 곧장 합을 구성하면 확률질량함수를 거치지 않고도 \mathrm E(X), \mathrm E(X^2)를 얻는다 — 이중 계산(더블 카운팅) 관점.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
없음(조합/급수). 접근법①과 동일.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1기록값의 총합을 직접 세기
짝수 2k\ (k=1,\dots,n)는 임의의 홀수 n+1개 각각과 짝지어질 때마다 값 2k로 기록되므로, 전체 {}_{2n+1}\mathrm C_2가지 추출 중 값 2k가 기록되는 횟수는 정확히 n+1번이다.
2E(X)를 가중합으로
\mathrm E(X)=\dfrac{\sum_{k=1}^{n}2k\times(n+1)}{{}_{2n+1}\mathrm C_2}=\dfrac{(n+1)\times n(n+1)}{n(2n+1)}=\dfrac{(n+1)^2}{2n+1}(같은 결과, 다른 경로).
3E(X²)도 같은 방식
\mathrm E(X^2)=\dfrac{\sum_{k=1}^{n}(2k)^2\times(n+1)}{{}_{2n+1}\mathrm C_2}=\dfrac{(n+1)\times4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n(2n+1)}=\dfrac23(n+1)^2.
4n 결정, 정답 계산
동일한 조건식 \dfrac23(n+1)^2=14\times\dfrac{(n+1)^2}{2n+1}에서 n=10, \mathrm E(X)=\dfrac{121}{21}, \mathrm E\!\left(7X+\dfrac23\right)=41(풀이 1과 일치).
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