2027 7월 학평 · 확률과통계 · 조건부확률 · 킬러KILLER
첫 시행이 '정지'로 묶이면, 남은 6번의 순서만 세면 된다
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 확률과통계 30번 · 수직선 위 점의 이동 (킬러)
수직선의 원점에 점 \mathrm P가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수를 k라 하자.
k가 1이면 점 \mathrm P를 양의 방향으로 1만큼 이동시키고,
k가 2이면 점 \mathrm P를 음의 방향으로 1만큼 이동시키고,
k가 3 이상이면 점 \mathrm P를 이동시키지 않는다.
이 시행을 7번 반복할 때, n\,(1\le n\le7)번째 시행 후 점 \mathrm P의 좌표를 a_n이라 하자. a_1=0이고 a_7=1일 때, 집합 \{a_m\mid m\text{은 }7\text{ 이하의 자연수}\}의 원소 중 가장 큰 값이 2일 확률은 \dfrac qp이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)
정답725
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①a₁=0으로 1번째 시행을 고정하고, 나머지 6번을 (1의 개수, 2의 개수)로 분류!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① a_1=0이려면 첫 번째 시행은 반드시 '정지'(k\ge3, 확률 \tfrac23). 나머지 6번의 시행에서 (1의 눈 개수)-(2의 눈 개수)=1이어야 a_7=1.
원리② 이 조건을 만족하는 (1\text{의 개수},\,2\text{의 개수})는 (1,0),(2,1),(3,2) 세 경우뿐 — 이걸로 사건 X=\{a_1=0,\,a_7=1\}의 확률을 세 항의 합으로 얻는다.
원리③ 사건 Y=\{\text{최댓값}=2\}와의 교사건은, 각 경우에서 '1의 눈들이 2의 눈들보다 충분히 먼저 나와 경로가 정확히 2까지 올라가는' 순서만 골라야 하므로 순서를 직접 나열해 확인한다.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
없음(조합/급수). 본 HTML에는 인터랙티브 캔버스 없음.
이 문항은 조합·급수·이산 구조라 직접 조작형 그래프 대신 표·도식으로 이해합니다. (위 단계별 풀이 참고)
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1사건 정의와 눈의 확률
X: 7번 시행 후 a_1=0,\ a_7=1인 사건. Y: \{a_m\mid m\le7\}의 최댓값이 2인 사건. k=1일 확률 \tfrac16, k=2일 확률 \tfrac16, k\ge3일 확률 \tfrac46=\tfrac23. a_1=0은 첫 시행이 반드시 '정지'임을 뜻한다.
2P(X) — 세 경우로 분류
나머지 6번 중 (1의 눈, 2의 눈, 정지)의 개수가 (1,0,5): \tfrac23\Bigl\{6\times(\tfrac16)^1(\tfrac23)^5\Bigr\}=(\tfrac23)^6. (2,1,3): \tfrac23\Bigl\{\tfrac{6!}{2!1!3!}(\tfrac16)^2(\tfrac16)^1(\tfrac23)^3\Bigr\}=40(\tfrac13)^6. (3,2,1): \tfrac23\Bigl\{\tfrac{6!}{3!2!1!}(\tfrac16)^3(\tfrac16)^2(\tfrac23)^1\Bigr\}=5\times\tfrac12\times(\tfrac13)^6. 합하면 \mathrm P(X)=(128+80+5)\times\tfrac12\times(\tfrac13)^6=71\times\tfrac12\times(\tfrac13)^5.
3P(X∩Y) — 경로가 정확히 2까지 오르는 순서만
(1,0)뿐인 경우는 경로가 단조증가라 최댓값이 1뿐이므로 기여 0. (2,1)인 경우 1의 눈 두 번이 2의 눈보다 먼저 나와야 최댓값 2: \tfrac23\Bigl\{\tfrac{6!}{3!3!}(\tfrac16)^2(\tfrac16)^1(\tfrac23)^3\Bigr\}=40(\tfrac13)^7. (3,2)인 경우 1,1,2,1,2\ /\ 1,1,2,2,1\ /\ 1,2,1,1,2\ /\ 2,1,1,1,2 네 순서만 최댓값 2: \tfrac23\Bigl\{4\times6\times(\tfrac16)^3(\tfrac16)^2(\tfrac23)^1\Bigr\}=(\tfrac13)^6. 합하면 \mathrm P(X\cap Y)=40(\tfrac13)^7+3(\tfrac13)^7=43(\tfrac13)^7.
4조건부확률과 정답
\mathrm P(Y\mid X)=\dfrac{\mathrm P(X\cap Y)}{\mathrm P(X)}=\dfrac{43(\tfrac13)^7}{71\times\tfrac12\times(\tfrac13)^5}=\dfrac{86}{639}. 86과 639=3^2\times71은 서로소이므로 q=86,\ p=639. p+q=725.
접근법 ②'개수가 같으면 순서는 모두 똑같이 확률적'이라는 대칭성으로 비율만 세기!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① (1의 눈, 2의 눈, 정지)의 개수가 정해지면, 그 개수를 만족하는 나머지 6자리의 배열은 어느 순서든 확률이 똑같다(정지가 어디에 끼든 확률에 영향 없음). 그래서 '최댓값이 2가 되는 순서의 비율'만 구하면, 그 비율을 각 경우의 전체 확률에 곱하기만 하면 된다.
원리② 이 비율은 정지를 뺀 '1과 2만의 순서(격자경로)'에서 최댓값이 얼마나 되는지만 보면 되므로, 확률식을 다시 쓰지 않고 순서의 개수만 비교해 답을 얻는다 — 대칭성(교환가능성) 논법.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
없음(조합/급수). 접근법①과 동일.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1정지를 뺀 '1·2만의 순서'에서 최댓값 비율
(1\text{의 개수},2\text{의 개수})=(1,0): 순서 1가지, 최댓값 2인 것 0가지 → 비율 0. (2,1): 순서 3가지(1,1,2 자리 배열) 중 1,1,2 순서 1가지만 최댓값 2 → 비율 \tfrac13. (3,2): 순서 {}_5\mathrm C_2=10가지 중 최댓값 2인 순서 4가지 → 비율 \tfrac{4}{10}=\tfrac25.
2P(X)의 세 항에 비율을 그대로 곱하기
풀이 1의 \mathrm P(X) 세 항은 각각 (\tfrac23)^6, 40(\tfrac13)^6, 5\times\tfrac12(\tfrac13)^6이었다. 여기에 비율 0,\ \tfrac13,\ \tfrac25를 그대로 곱하면 \mathrm P(X\cap Y)의 세 항이 된다: 0, \tfrac13\times40(\tfrac13)^6=40(\tfrac13)^7, \tfrac25\times\tfrac52(\tfrac13)^6=(\tfrac13)^6=3(\tfrac13)^7.
3합산으로 P(X∩Y)
\mathrm P(X\cap Y)=0+40(\tfrac13)^7+3(\tfrac13)^7=43(\tfrac13)^7(풀이 1과 정확히 일치 — 케이스별 확률식을 다시 쓰지 않고 비율만으로 얻었다).
4조건부확률과 정답
\mathrm P(Y\mid X)=\dfrac{43(\tfrac13)^7}{71\times\tfrac12\times(\tfrac13)^5}=\dfrac{86}{639}, q=86,\ p=639, p+q=725(풀이 1과 일치).
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