PATTERN LAB · 모의고사 분석
2027 6월 모평 확통 28·29·30번 — 단계별 상세 풀이 (확률과통계 선택)
2027학년도 6월 모의평가 · 수학 확률과통계(선택) · 변별 3문항 완전 상세 풀이
2027학년도 6월 모의평가 확률과통계(선택)의 변별 문항 28·29·30번을, 각각 서로 다른 두 가지 풀이법으로 — 세는 과정 한 줄까지 단계별로 정리했습니다. 확통의 핵심은 조건을 다른 언어로 번역하는 힘입니다.
01
SOLUTIONS
확통 28·29·30번, 단계별로 끝까지
각 문항의 문제·정답·핵심 아이디어를 먼저 보고, 접근법 ①·②의 단계별 상세 풀이로 세는 과정을 한 줄씩 따라가세요.
KILLER · 28번
28번 · 확률 — 카드 뒤집기 (패리티)
난이도 최상
문제
앞면에 숫자 1,2,3,4,5,6이 하나씩 적힌 카드 6장(뒷면에도 같은 숫자)이 있다. 처음에 숫자 1,6 카드는 뒷면, 2,3,4,5 카드는 앞면이 보이게 놓여 있다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈 k에 대하여, k가 홀수면 k 이하, k가 짝수면 k 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다. 이 시행을 4번 반복한 후 6장이 모두 앞면이 보일 확률은?
정답\dfrac{10}{81}
핵심 아이디어
뒤집기의 본질은 “몇 번 뒤집혔는가의 홀짝(패리티)”입니다. 순서·중간 상태는 답에 영향이 없으므로, ‘1·6은 홀수 번, 2·3·4·5는 짝수 번 뒤집힘’이라는 패리티 조건으로 번역하면 문제가 단순해집니다.
접근법 ① 홀짝(패리티) 분류
각 눈이 뒤집는 카드 집합을 카드 기준으로 모으면 6개 조건이 4개로 줄고, 패리티로 셉니다.
단계별 상세 풀이
1목표를 패리티로 번역
시작 상태가 뒷면인 1,6은 홀수 번, 앞면인 2,3,4,5는 짝수 번 뒤집혀야 모두 앞면. 4회 시행에서 눈 k가 나온 횟수를 n_k라 하면 \sum n_k=4.
2각 눈이 뒤집는 카드
k{=}1{:}\{1\}, k{=}2{:}\{2,3,4,5,6\}, k{=}3{:}\{1,2,3\}, k{=}4{:}\{4,5,6\}, k{=}5{:}\{1,2,3,4,5\}, k{=}6{:}\{6\}.
3카드 기준으로 재집계
카드1을 뒤집는 눈 \{1,3,5\}, 카드2·3 \{2,3,5\}(동일), 카드4·5 \{2,4,5\}(동일), 카드6 \{2,4,6\}. → 카드 2·3이 한 몸, 4·5가 한 몸이라 6개 조건이 4개로 줄어듭니다.
44개 패리티 조건
\underbrace{n_1{+}n_3{+}n_5}_{\text{홀}},\ \ \underbrace{n_2{+}n_3{+}n_5}_{\text{짝}},\ \ \underbrace{n_2{+}n_4{+}n_5}_{\text{짝}},\ \ \underbrace{n_2{+}n_4{+}n_6}_{\text{홀}}
5경우의 수
\sum n_k=4인 (순서 있는) 시행 중 위 패리티를 모두 만족하는 경우의 수는 160 가지.
6확률
P=\frac{160}{6^4}=\frac{160}{1296}=\frac{10}{81}.
접근법 ② 여집합 짝 구조
여섯 눈의 뒤집기 집합에 숨은 세 쌍의 여집합을 이용해 같은 답을 구조로 얻습니다.
단계별 상세 풀이
1세 쌍의 여집합
\{1\}\leftrightarrow\{2,3,4,5,6\}, \{1,2,3\}\leftrightarrow\{4,5,6\}, \{1,2,3,4,5\}\leftrightarrow\{6\} — 즉 짝수 눈의 집합은 홀수 눈 집합의 여집합.
2여집합 뒤집기 = 전체 + 기준
여집합을 뒤집는 것은 6장 전체를 한 번 뒤집은 뒤 기준 집합을 다시 뒤집기와 같습니다. 즉 \text{짝수 눈}=\text{(전체 뒤집기)}+\text{(홀수 짝 집합)}.
3전체 반전 횟수만 관리
짝수 눈이 나온 총 횟수 E=n_2{+}n_4{+}n_6의 홀짝이 모든 카드에 공통으로 더해지므로, 조건이 E의 패리티 + 기준 집합 패리티로 더 단순해집니다.
4같은 답
이 구조로 경우를 세도 동일하게 160 가지 → P=\dfrac{10}{81}.
29번 · 조건부확률 — 주사위 곱·합
난이도 상
문제
서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수일 때, 이 다섯 개의 눈의 수의 합이 15일 확률을 \dfrac{q}{p}라 하자. p+q의 값을 구하시오. (단, p,q는 서로소인 자연수)
정답98 (확률 \dfrac{17}{81})
핵심 아이디어
곱이 홀수 \iff 다섯 눈이 모두 홀수(1,3,5). 조건부확률이라 표본공간이 3^5=243으로 줄고, 그 위에서 합이 15인 경우를 셉니다.
접근법 ① 홀수 치환 + 포함배제
각 눈을 치환해 합 조건을 선형화하고, 상한 제약을 포함배제로 처리합니다.
단계별 상세 풀이
1조건부 표본공간
곱이 홀수 → 다섯 눈 모두 \{1,3,5\}. 경우의 수 3^5=243 (이게 분모).
2치환으로 선형화
x=2y+1,\ y\in\{0,1,2\}로 두면 \sum x=15\Rightarrow 2\sum y+5=15\Rightarrow \sum y=5.
3무제약 중복조합
y_1+\cdots+y_5=5의 음 아닌 정수해 \binom{5+4}{4}=\binom{9}{4}=126.
4상한 위반 빼기 (포함배제)
어떤 y_i\ge3 → y_i'=y_i-3, 합 =2 → \binom{2+4}{4}=\binom{6}{4}=15, 변수 5개 → 5\times15=75. (두 변수 동시 \ge3은 합 음수라 불가)
5분자
126-75=51.
6결론
\frac{q}{p}=\frac{51}{243}=\frac{17}{81}\ \Rightarrow\ p+q=81+17=98.
접근법 ② 편차 직접 분류
치환 없이 평균 3 기준 편차로 정면 분류합니다.
단계별 상세 풀이
1평균·편차
다섯 눈 합 15 → 평균 3. 1,3,5의 편차는 -2,0,+2 → 편차 합 0이려면 5의 개수 = 1의 개수.
2경우 분류
5와 1을 각 j개, 3을 5-2j개 (j=0,1,2).
3각 배열 수
j{=}0: (3,3,3,3,3) → 1. j{=}1: \tfrac{5!}{1!1!3!}=20. j{=}2: \tfrac{5!}{2!2!1!}=30.
4합산 → 동일
1+20+30=51\ \Rightarrow\ \frac{51}{243}=\frac{17}{81},\ \ p+q=98.
30번 · 경우의 수 — 이웃 금지 배열
난이도 상
문제
노란색 공 4개, 보라색 공 4개, 검은색 공 4개가 있다. 이 12개의 공을 모두 일렬로 나열할 때, 노란색 공이 보라색 공과 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 구별하지 않는다.)
정답780
핵심 아이디어
이웃 금지의 정석은 제삼의 색(검정)으로 칸막이를 세우는 것입니다. 검정 4개가 만드는 칸에 노랑·보라를 ‘한 칸 한 색’으로 나눠 담으면 인접 금지가 자동으로 지켜집니다.
접근법 ① 검정 칸막이 + 단색 분배
검정 4개로 5칸을 만들고, 각 칸을 노랑 전용/보라 전용/빈칸으로 채워 인접을 원천 차단합니다.
단계별 상세 풀이
1검정으로 5칸 만들기
검정 4개를 세우면 \_\,K\,\_\,K\,\_\,K\,\_\,K\,\_ — 양끝 포함 5개의 칸이 생깁니다.
2한 칸엔 한 색만
한 칸 안에는 검정이 없어 공들이 붙어 있으므로, 노랑·보라가 같은 칸에 섞이면 그 경계에서 노랑–보라 인접. 따라서 각 칸은 \text{노랑 전용} / \text{보라 전용} / \text{빈칸}.
3분배 식 세우기
노랑 4개를 i개 칸에(각 \ge1), 보라 4개를 j개 칸에(각 \ge1), 칸은 서로 겹치지 않게 5칸 중 선택:
\sum_{i\ge1}\sum_{j\ge1}\binom{5}{i}\binom{5-i}{j}\binom{3}{i-1}\binom{3}{j-1}.
4경우별 계산
i{=}1{:}175, i{=}2{:}450, i{=}3{:}150, i{=}4{:}5 (각 \binom{3}{i-1}은 4개를 i칸에 분배하는 수).
5결론
175+450+150+5=780.
접근법 ② 빈칸 삽입 (쌍대 관점)
보라·검정을 먼저 배열하고 노랑을 안전한 틈에만 끼워 넣는 같은 문제의 쌍대 시선입니다.
단계별 상세 풀이
1보라·검정 먼저
노랑을 빼고 보라 4·검정 4를 배열 → \dfrac{8!}{4!\,4!}=70 가지. 8개 공이 9개의 틈을 만듭니다.
2안전한 틈
노랑이 들어갈 수 있는 틈은 양옆이 보라가 아닌(검정 또는 끝) 틈뿐. 이 틈에는 노랑 여러 개를 함께 넣어도 됩니다.
3같은 답
각 배열의 안전한 틈 수에 따라 노랑 4개를 중복조합으로 분배해 모두 더하면, 접근법 ①과 정확히 같은 780 가지. (배열별 안전한 틈의 개수 분포는 핵심 한 장 참고)
02
CONCLUSION
여러 풀이법, 왜 함께 봐야 할까?
한 문제, 여러 시선 — 28·29·30번 모두 서로 다른 두 전략이 같은 답으로 수렴합니다. 한 풀이에 익숙해진 뒤 다른 시선으로 다시 풀면 개념의 연결이 단단해집니다.
확통 선택의 핵심은 번역 — 28번은 뒤집기를 홀짝으로, 29번은 곱·합 조건을 치환·편차로, 30번은 이웃 금지를 칸막이로 번역합니다. 조건을 다른 언어로 바꾸는 힘이 변별을 가릅니다.
28번 킬러는 ‘순서·중간 상태는 무관, 오직 뒤집힌 횟수의 홀짝’이라는 통찰이 열쇠입니다. 상태 추적을 패리티 조건으로 바꾸면 1296가지가 4개의 조건으로 정리됩니다.
03
FAQ
자주 묻는 질문 (FAQ)
Q1. 2027학년도 6월 모의평가 확통 28·29·30번은 어떤 문제였나요?
A. 선택과목 확률과통계의 변별 문항입니다. 28번은 카드 뒤집기 확률(킬러), 29번은 주사위 곱·합의 조건부확률, 30번은 같은 색 공의 이웃 금지 배열(경우의 수) 문제입니다.
Q2. 각 문제의 정답은 무엇인가요?
A. 28번은 10/81, 29번은 p+q=98 (확률 17/81), 30번은 780입니다.
Q3. 28번 카드 뒤집기는 어떻게 접근하나요?
A. 순서와 중간 상태는 결과에 영향이 없고 오직 각 카드가 뒤집힌 횟수의 홀짝만 중요합니다. 처음 뒷면이던 1·6은 홀수 번, 앞면이던 2·3·4·5는 짝수 번 뒤집히는 조건으로 번역하면 됩니다.
Q4. 29번에서 표본공간이 왜 243인가요?
A. 곱이 홀수라는 조건은 다섯 눈이 모두 홀수(1, 3, 5)임과 같습니다. 조건부확률이므로 표본공간이 3의 5제곱인 243으로 줄어듭니다.
Q5. 30번 이웃 금지 배열의 핵심 전략은?
A. 제삼의 색(검정)을 칸막이로 세워 5개의 칸을 만들고, 각 칸에 노랑 또는 보라 한 색만 담으면 노랑–보라 인접이 원천적으로 생기지 않습니다.
PATTERN LAB · 2027학년도 6월 모의평가 확률과통계(선택) · 단계별 상세 풀이
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