2027 6월 모평 · 공통수학 · 수열(수학Ⅰ) · 킬러KILLER
점화식을 '인덱스 키우는 연산'으로 읽기
문제2027학년도 6월 모의평가 · 공통 22번 · 재귀 점화식과 경우의 수 (킬러)
수열 \{a_n\}은 a_1=1, a_3=4이고, 모든 자연수 n에 대하여
a_{2n}=a_n+1,\qquad a_{4n+1}=a_{4n+3}=a_n+4
를 만족시킨다. a_k=10을 만족시키는 자연수 k의 개수를 구하시오. [4점]
정답32
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①인덱스 연산 + 경우의 수로 세기!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① D: n\to2n (값 +1), Q_1: n\to4n+1 (값 +4), Q_3: n\to4n+3 (값 +4) — 세 점화식은 번호에 거는 세 연산이다.
원리② 모든 번호는 출발점(a_1=1 또는 a_3=4)에서 이 연산들을 유일한 순서로 거쳐 만들어진다(역추적이 결정적).
값 조건 a_k=10을 연산별 증가량의 합으로 바꾸면, 번호의 개수 = 연산열의 순열 개수'임을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 산점도: k vs a_k를 점으로 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1세 연산과 증가량
D:n\mapsto2n(값 +1), Q_1:n\mapsto4n+1(값 +4), Q_3:n\mapsto4n+3(값 +4). 시작 a_1=1 또는 a_3=4.
2번호 ↔ 연산열 일대일
임의의 k\ge2는 '짝수면 D 역, 4m+1이면 Q_1 역, 4m+3이면 Q_3 역'으로 유일하게 출발점까지 거슬러 간다. ⇒ 연산열 하나 = 번호 하나.
3값 조건을 식으로
D는 +1, Q(=Q_1 또는 Q_3)는 +4. 출발 1: \#D+4\#Q=9. 출발 3(값 4): \#D+4\#Q=6.
4출발 1: 25가지
(\#D,\#Q)=(9,0),(5,1),(1,2). 길이 \#D+\#Q의 순열에 Q 자리 고르기 {}_{\cdot}\mathrm{C}_{\#Q} × 각 Q가 Q_1/Q_3 2가지 2^{\#Q}:
{}_{9}\mathrm{C}_{0}+{}_{6}\mathrm{C}_{1}\cdot2+{}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot4=1+12+12=25.
5출발 3: 7가지 → 정답
(\#D,\#Q)=(6,0),(2,1): {}_{6}\mathrm{C}_{0}+{}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot2=1+6=7. 총 25+7=32.
접근법 ②역추적으로 층 쌓기 — BFS 직접 열거!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 역연산: 짝수 k는 k/2로(값 -1), 4m+1·4m+3은 m으로(값 -4) 거슬러 간다.
원리② 값 10에서 역으로 감소하며 출발점(값 1 또는 4)에 닿는 경로를 모두 열거하면 중복 없이 모든 k를 얻는다.
값을 줄이며 나무를 거꾸로 그린 뒤 경로 수를 세면 답'임을 이해하라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1역연산으로 부모 찾기
a_k=10인 k를 만들려면 역으로 값을 줄이며 출발점 (1) 또는 (3)까지 닿는 길을 모두 센다. 역: 값 -1(D의 역) 또는 값 -4(Q의 역, 분기 2).
2증가량 분해(손으로)
출발 1\to10: +9를 \{+1\}와 \{+4\}로 분해. 4\cdot0+9(D 9개), 4\cdot1+5(Q 1·D 5), 4\cdot2+1(Q 2·D 1). 각 분해의 순서·Q 종류가 서로 다른 번호.
3실제 번호로 확인
예: Q_3 후 D 5회 = 1\to7\to14\to28\to56\to112\to224, a_{224}=1+4+5=10 ✓. 순수 D 9회 = 2^9=512, a_{512}=10 ✓ (가장 큰 번호).
4전수 목록 = 32개
이렇게 얻는 번호들의 총합 25+7=32. 위 인터랙티브의 초록 점과 일치.
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