2027 6월 모평 · 확률과통계 · 확률 · 킬러KILLER
'몇 번 뒤집혔나'의 홀짝만 남는다
문제2027학년도 6월 모의평가 · 확률과통계 28번 · 카드 뒤집기 패리티 (킬러)
앞면에 숫자 1,2,3,4,5,6이 하나씩 적힌 카드 6장(뒷면에도 같은 숫자)이 있다. 처음에 숫자 1,6 카드는 뒷면, 2,3,4,5 카드는 앞면이 보이게 놓여 있다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈 k에 대하여, k가 홀수면 k 이하, k가 짝수면 k 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다. 이 시행을 4번 반복한 후 6장이 모두 앞면이 보일 확률은?
정답10/81
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①6조건 → 3독립 홀짝 조건으로 압축!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 카드가 앞면이 될 조건은 뒤집힌 횟수의 홀짝(패리티) 하나.
원리② 카드 2·3은 똑같은 눈 집합 \{2,3,5\}에 의해 뒤집히고, 카드 4·5는 \{2,4,5\} — 두 쌍이 '한 몸'이 되어 6개 조건이 4개(실질 3개 독립)로 줄어든다.
카드6의 조건은 카드1의 조건에서 자동으로 따라옴'을 확인하고 독립 조건만 세어라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
없음(조합/급수). 본 HTML에는 정적 표(눈별 뒤집는 카드 ↔ 카드별 뒤집는 눈)만 있고 캔버스 인터랙티브 없음.
이 문항은 조합·급수·이산 구조라 직접 조작형 그래프 대신 표·도식으로 이해합니다. (위 단계별 풀이 참고)
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1목표를 홀짝 조건으로
시작 뒷면 1,6은 홀수 번, 시작 앞면 2,3,4,5는 짝수 번 뒤집혀야 앞면. 카드별 뒤집는 눈으로 옮기면 4개 식:
n_1+n_3+n_5\equiv1,\quad n_2+n_3+n_5\equiv0,\quad n_2+n_4+n_5\equiv0,\quad n_2+n_4+n_6\equiv1\pmod{2}.
2조건 하나는 자동
n_2+n_4+n_6=4-(n_1+n_3+n_5)이고 4는 짝수이므로, 카드1이 홀수면 카드6은 저절로 홀수. ⇒ 독립 조건은 3개.
3유리한 경우의 수
합이 4인 비음정수 (n_1,\dots,n_6) 중 위 패리티를 만족하는 것의 다항계수 \dfrac{4!}{n_1!\cdots n_6!} 총합. 전수 패턴 14가지의 합 = 160.
4정답
\dfrac{160}{6^4}=\dfrac{160}{1296}=\dfrac{10}{81}.
접근법 ②여집합 쌍 구조 — 전체 토글 홀짝으로 분기!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 눈1·눈2, 눈3·눈4, 눈5·눈6이 각각 6장을 정확히 둘로 나누는 여집합 쌍이다.
원리② 여집합을 뒤집는 것 = 기준 집합을 뒤집고 + 6장 전체를 한 번 더 뒤집는 것.
여집합 쪽(눈 2,4,5)이 나온 횟수의 홀짝이 전체 패리티 한 변수를 결정' — 이 구조 관찰만으로 160을 도출한다.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
없음(조합/급수). 접근법①과 동일.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1숨은 여집합 쌍
눈1 \{1\}↔눈2 \{2,3,4,5,6\}, 눈3 \{1,2,3\}↔눈4 \{4,5,6\}, 눈5 \{1,2,3,4,5\}↔눈6 \{6\}. 각 쌍이 6장을 정확히 둘로 가른다.
2'여집합 뒤집기 = 기준 + 전체 한 번'
여집합을 뒤집는 것은 기준 집합을 뒤집고 + 6장 전체를 한 번 더 뒤집는 것과 같다. 그래서 각 쌍을 '기준 + 전체 토글 여부'로 분리할 수 있다.
3전체 토글 횟수의 홀짝으로 분기
눈 2,4,5(여집합 쪽)가 나온 총 횟수의 홀짝이 '6장 전체를 몇 번 추가로 뒤집었나'를 정한다. 이 전체 패리티 한 변수로 경우가 갈려 유리한 경우의 수 160을 구조 관찰만으로 얻는다.
4정답
두 풀이 모두 \dfrac{160}{1296}=\dfrac{10}{81}.
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