“몇 번 뒤집혔나”의 홀짝만 남는다
순서도 중간 상태도 답에 영향을 주지 않습니다. 카드가 앞면이 될 조건은 뒤집힌 횟수의 홀짝(패리티) 하나. 그래서 6개 조건이 4개로 접힙니다.
앞면에 숫자 1,2,3,4,5,6이 하나씩 적힌 카드 6장(뒷면에도 같은 숫자)이 있다. 처음에 숫자 1,6 카드는 뒷면, 2,3,4,5 카드는 앞면이 보이게 놓여 있다. 주사위를 한 번 던져 나온 눈 k에 대하여, k가 홀수면 k 이하, k가 짝수면 k 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다. 이 시행을 4번 반복한 후 6장이 모두 앞면이 보일 확률은?
앞면 ⟺ (시작 앞면은 짝수 번, 시작 뒷면은 홀수 번) 뒤집힘
각 눈이 뒤집는 카드를 카드 기준으로 다시 모으면, 카드 2·3이 똑같은 눈 집합 \{2,3,5\}, 카드 4·5가 똑같은 집합 \{2,4,5\}로 한 몸이 됩니다. 여기에 카드 6 조건은 카드 1 조건에서 자동으로 따라오므로, 6개 조건이 사실상 3개의 독립 홀짝 조건으로 줄어 유리한 경우가 160가지. 전체는 6^4=1296.
▶각 눈이 뒤집는 카드 (출발점)
홀수 눈 k: k 이하 / 짝수 눈 k: k 이상. 이를 카드별로 뒤집으면:
| 눈 k | 뒤집는 카드 | 카드 | 그 카드를 뒤집는 눈 | 시작/목표 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 (홀) | {1} | 카드1 | {1,3,5} | 뒤→홀수번 | |
| 2 (짝) | {2,3,4,5,6} | 카드2 | {2,3,5} | 앞→짝수번 | |
| 3 (홀) | {1,2,3} | 카드3 | {2,3,5} | 앞→짝수번 | |
| 4 (짝) | {4,5,6} | 카드4 | {2,4,5} | 앞→짝수번 | |
| 5 (홀) | {1,2,3,4,5} | 카드5 | {2,4,5} | 앞→짝수번 | |
| 6 (짝) | {6} | 카드6 | {2,4,6} | 뒤→홀수번 |
1풀이 1 — 홀짝(패리티) 분류
n_k를 4번 중 눈 k가 나온 횟수라 하면 n_1+\cdots+n_6=4.
n_1+n_3+n_5\equiv1, n_2+n_3+n_5\equiv0, n_2+n_4+n_5\equiv0, n_2+n_4+n_6\equiv1 (mod 2).
(예: (0,1,1,1,0,1)·(1,0,1,1,1,0) 각 \tfrac{4!}{1!1!1!1!}=24 → 48, 나머지 12\times8+4\times4=112, 합 160.)
2풀이 2 — 여집합 짝 구조로 읽기
표의 “뒤집는 카드”를 보면 세 쌍이 서로 여집합입니다.
검산 — 160이 맞나? (전수 확인)
4번의 시행 6^4=1296가지를 직접 시뮬레이션(각 눈의 뒤집기를 적용 후 6장 모두 앞면)하면 정확히 160가지. 패리티 조건을 만족하는 횟수벡터 14종의 다항계수 합도 160. ⇒ 160/1296=10/81. ✓
핵심 재확인: 카드 2·3은 같은 눈 집합 \{2,3,5\}, 카드 4·5는 \{2,4,5\} — “한 몸”이 6조건을 4조건으로 줄인다.
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