2027 6월 모평 · 공통수학 · 삼각함수 · 난이도 ★★★★☆
실근이 왜 하필 15개일까
삼각방정식을 일일이 풀지 않습니다. “개수가 홀수”라는 한 단어가 매개변수 a,b를 통째로 결정합니다.
문제
양수 a와 자연수 b에 대하여 0\le x\le 2일 때 \left(\cos(b\pi x)-\tfrac12\right)\!\left(a\cos(b\pi x)+\tfrac{a+2}{2}\right)=0 의 서로 다른 실근의 개수가 15일 때, a+b의 값은?
한 번에 이해하는 핵심
주기함수 = 상수, 실근은 “2개 아니면 1개”
\cos\theta=k 의 해는 한 주기에 k가 골/마루 사이면 2개, 정확히 마루·골(±1)에 닿으면 1개(접점). 그래서 곱=0을 두 코사인으로 갈랐을 때 합이 홀수 15가 되려면 한쪽은 반드시 접점이어야 한다 → 그 조건이 a=2를 강제하고, 남는 식 3b=15가 b=5를 준다.
정답 a+b=7 (a=2,\ b=5)
▶핵심을 눈으로 확인
슬라이더로 a·b를 움직여 보세요. 합이 항상 짝수(4b)이다가, 분홍 수평선이 곡선 바닥 −1에 닿는 순간(a=2)에만 홀수가 됩니다.
y=\cos(b\pi x)
y=\tfrac12 (인수①)
y=-\tfrac{a+2}{2a} (인수②)
실근
1풀이 1 — 곱=0 분해 + 개수 세기
가장 표준적인 흐름. 곱을 두 코사인 방정식으로 가르고, 각각의 교점 수를 세어 더합니다.
곱 = 0 분해
\cos(b\pi x)=\tfrac12 또는 \cos(b\pi x)=-\dfrac{a+2}{2a}. 각각 코사인 곡선과 수평선의 교점 문제.
인수①의 해 개수 = 2b
x\in[0,2]이면 b\pi x\in[0,2b\pi]로 b주기. \tfrac12은 (-1,1) 사이라 주기당 2개 → 2b개. (끝점 x=0,2에서 \cos=1\ne\tfrac12이라 경계 보정 없음.)
인수②의 상수 읽기
-\dfrac{a+2}{2a}=-\left(\tfrac12+\tfrac1a\right)\le-\tfrac12. a>0인 한 항상 -\tfrac12 이하, 바닥 -1에 닿는 건 오직 a=2.
홀짝이 a를 강제
a\ne2면 상수가 (-1,-\tfrac12) → 주기당 2개 → 합 2b+2b=4b(짝수). 15(홀수) 불가 → a=2.
b와 정답
a=2면 인수②는 접점이라 주기당 1개 → b개. 2b+b=3b=15\Rightarrow b=5, a+b=7.
2풀이 2 — 상수 c(a)의 범위로 대수적 결정
그래프 감각 없이도 됩니다. 인수②가 만드는 상수 c=-\dfrac{a+2}{2a}를 a의 함수로 보고, 그 값이 어느 구간에 있느냐로 교점 수가 3가지로 갈립니다.
치환으로 단순화
u=\cos(b\pi x)\in[-1,1]. 방정식은 (u-\tfrac12)(au+\tfrac{a+2}{2})=0 → u=\tfrac12 또는 u=c, c=-\dfrac{a+2}{2a}=-\tfrac12-\tfrac1a.
한 주기당 해 개수 규칙
\cos=u_0의 한 주기 해는 -1이면 2개, u_0=\pm1이면 1개, |u_0|>1이면 0개. [0,2]는 정확히 b주기.
c(a)의 치역으로 3분기
a>0에서 c=-\tfrac12-\tfrac1a: 0<a<2면 c<-1(0개), a=2면 c=-1(b개), a>2면 -1(2b개).
총 개수 = 홀수 ⇒ a=2
인수①은 항상 2b개. 총합은 0, a=2:\,3b, a>2:\,4b. 15는 홀수이므로 3b꼴, 즉 a=2만 가능.
정답
3b=15\Rightarrow b=5. a+b=2+5=7. (두 풀이가 같은 답으로 수렴.)
검산 — 근 중복은 없는가?
두 경우의 코사인 값이 \tfrac12와 -1로 서로 다르므로 같은 x가 두 식을 동시에 만족할 수 없다. 따라서 단순 합 10+5=15 ✓
analysis_mock_test · 동적 풀이 프로토타입 · 2027 6월모평 공통 14번
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