2027 7월 학평 · 미적분 · 수열의 극한(등비급수)·조건 판별
네 가지 부호 조합 중, 살아남는 건 단 하나뿐
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 미적분 29번 · 등비수열과 조건 판별
등비수열 \{a_n\}에 대하여 급수 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n이 수렴하고, 수열 \{b_n\}을 모든 자연수 n에 대하여
b_n=\begin{cases}-a_n & (a_n\le a_{n+1})\\ a_{2n} & (a_n> a_{n+1})\end{cases}
이라 할 때, 두 수열 \{a_n\}, \{b_n\}은 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 자연수 n에 대하여 a_nb_n<0이다.
(나) \left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_n|\right)^2=2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n^2
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)=63일 때, \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_{2n}의 값을 구하시오. [4점]
정답30
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①공비의 부호로 네 조합을 걸러내면 −10만 남는다
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① b_n의 정의는 a_n과 a_{n+1}의 대소로 갈리므로, a의 부호(2가지)×r의 부호(2가지) 네 조합을 모두 조건 (가)로 검사해야 한다.
원리② 세 조합은 a_nb_n>0이 되거나 a_n+b_n\equiv0이 되어 조건을 못 맞추고, 유일하게 -1<r<0,\ a>0만 모든 n에서 a_nb_n<0을 만족한다.
네 부호 조합을 전부 검사한 뒤, 조건 (나)로 공비를, 급수합 63으로 첫째항을 순서대로 확정하라'.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
없음(조합/급수 판별 문제라 좌표 그래프가 부적합). 본 HTML에는 확정 구성 a=80,\,r=-\tfrac13의 a_n,\,b_n,\,a_nb_n을 n=1\sim6에 대해 보여주는 정적 표와, b_{2n}의 값을 막대로 나타내 급수합 30으로 수렴함을 보여주는 정적 막대 그래프만 있다.
이 문항은 조합·급수·이산 구조라 직접 조작형 그래프 대신 표·도식으로 이해합니다. (위 단계별 풀이 참고)
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1수렴 조건과 후보 네 가지
a_n=a\,r^{n-1}, 조건(가)로 a\ne0,\ r\ne0. 급수가 수렴하려면 -1<r<0 또는 0<r<1. 여기에 a의 부호를 곱하면 네 조합이 나온다.
20
a<0이면 모든 n에서 a_n<a_{n+1}이므로 b_n=-a_n, 즉 a_n+b_n\equiv0이라 급수합이 항상 0이 되어 63과 모순. a>0이면 a_n>a_{n+1}이라 b_n=a_{2n}>0이고 a_n>0이므로 a_nb_n>0이 되어 조건(가) 위반.
3-1
홀수항에서는 a_{2m-1}b_{2m-1}=-(a_{2m-1})^2<0으로 성립하지만, 짝수항에서는 b_{2m}=a_{4m}>0이고 a_{2m}<0이므로 a_{2m}b_{2m}=a_{2m}a_{4m}>0이 되어 조건(가) 위반.
4-10만 성립 → r 확정
이 경우 홀수 n에서 b_n=a_{4m-2}, 짝수 n에서 b_n=-a_n이 되어 모든 n에서 a_nb_n<0이 성립. 조건
(나) \Bigl(\tfrac a{1+r}\Bigr)^2=2\cdot\tfrac{a^2}{1-r^2}에서 2(1+r)=1-r이므로 r=-\tfrac13.
(나) \Bigl(\tfrac a{1+r}\Bigr)^2=2\cdot\tfrac{a^2}{1-r^2}에서 2(1+r)=1-r이므로 r=-\tfrac13.
5급수합 63으로 a 확정
a_n+b_n=\begin{cases}a_n+a_{2n}&(n=2m-1)\\0&(n=2m)\end{cases}이므로 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^\infty(a_{2n-1}+a_{4n-2})=\dfrac{a}{1-r^2}+\dfrac{ar}{1-r^4}=\dfrac{63}{80}a=63이므로 a=80.
6목표 급수 b₂ₙ 계산
a_n=80\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^{n-1}이므로 b_{2n}=-a_{2n}=\dfrac{80}{3}\Bigl(\tfrac19\Bigr)^{n-1}. 따라서 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_{2n}=\dfrac{80/3}{1-1/9}=\boxed{30}.
접근법 ②조건(나)는 |r|만으로 즉시 풀린다 — 절댓값으로 지름길
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① \sum|a_n|=\dfrac{|a|}{1-|r|}, \sum a_n^2=\dfrac{a^2}{1-r^2}이므로 조건(나)를 |r|만의 방정식으로 바꾸면 부호를 나누지 않고도 |r|=\tfrac13이 즉시 나온다.
원리② 부호는 조건(가)(모든 n에서 a_nb_n<0, 즉 부호가 계속 교대해야 함)로만 판정하면 되므로, 네 조합을 전부 대소비교하는 대신 |r| 확정 → 부호 판정 → a 확정의 세 단계로 줄어든다.
조건(나)의 제곱·절댓값 구조를 보면 부호는 이미 조건(나)에서 소거되어 있다는 것을 알아채라'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일(인터랙티브 없음).
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1조건(나)를 |r|만의 식으로
\Bigl(\dfrac{|a|}{1-|r|}\Bigr)^2=\dfrac{2a^2}{1-r^2}=\dfrac{2a^2}{(1-|r|)(1+|r|)}에서 (1-|r|)^2로 약분하면 1+|r|=2(1-|r|)이므로 |r|=\dfrac13 (부호와 무관하게 즉시 확정).
2부호는 조건(가)로 결정
r=\tfrac13>0이면 a_n,a_{n+1}이 항상 같은 부호로 단조 변화해 a_n+b_n\equiv0이거나 a_nb_n>0이 되어 조건(가)를 못 만족(풀이 1의 케이스와 동일). r=-\tfrac13이면 부호가 매 항 교대하므로 a>0일 때 모든 n에서 a_nb_n<0이 성립 → r=-\tfrac13,\ a>0으로 확정.
3급수합으로 a 확정
a_n+b_n=a_n+a_{2n}\;(n\text{ 홀수}),\ 0\;(n\text{ 짝수})이므로 \displaystyle\sum(a_n+b_n)=\dfrac{a}{1-r^2}+\dfrac{ar}{1-r^4}=\dfrac{63}{80}a=63\Rightarrow a=80.
4정답
b_{2n}=-a_{2n}=\dfrac{80}{3}\Bigl(\tfrac19\Bigr)^{n-1}이므로 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_{2n}=\dfrac{80/3}{1-1/9}=\boxed{30}. 풀이 1과 일치.
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