2027 6월 모평 · 확률과통계(선택) · 경우의 수 · 난이도 ★★★★☆
“이웃 금지”는 칸막이로 바꾼다
노랑과 보라가 못 붙는다는 조건은, 검정을 칸막이로 세워 “한 칸엔 한 색만” 담는 분배 문제로 번역됩니다. 같은 답을 두 표준 전략으로.
문제
노란색 공 4개, 보라색 공 4개, 검은색 공 4개가 있다. 이 12개의 공을 모두 일렬로 나열할 때, 노란색 공이 보라색 공과 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)
●●●● ●●●● ●●●● 노랑·보라 인접 ✗
한 번에 이해하는 핵심
검정 4개로 5칸을 만들면 “한 칸 = 한 색”
금지된 쌍은 노랑–보라 하나뿐. 검정 4개를 먼저 세우면 칸막이가 되어 5개의 칸 \_\,B\,\_\,B\,\_\,B\,\_\,B\,\_이 생긴다. 서로 다른 칸의 공은 사이에 검정이 있어 절대 이웃하지 않으므로, 각 칸을 노랑 전용·보라 전용(또는 빈칸)으로만 채우면 조건 자동 충족. 이 분배가 780가지.
정답 780
1풀이 1 — 단색 분배 (검정을 칸막이로)
검정으로 칸을 만들고, 노랑·보라를 “섞이지 않게” 나눠 담습니다.
칸 만들기
검정 4개는 모두 같으니 한 줄로 고정 → 양끝·사이의 5개 칸 생성. 각 칸엔 노랑/보라를 0개 이상 넣되, 한 칸엔 한 색만(섞이면 그 칸 안에서 노랑–보라가 붙음).
덩어리로 분배
노랑 4개를 a개 칸에(각 칸 \ge1) 나누는 방법 \binom{3}{a-1}(4의 순서있는 분할), 보라 4개를 다른 b개 칸에 \binom{3}{b-1}. 두 색 칸은 겹치면 안 됨(a+b\le5).
칸 고르기 × 분배 합산
\sum_{\substack{a,b\ge1\\a+b\le5}} \binom5a\binom{5-a}{b}\,\binom3{a-1}\binom3{b-1}=780. (노랑 쓰는 a칸과 보라 쓰는 b칸을 5칸에서 겹치지 않게 고른 뒤 각 색을 그 칸들에 분배.)
정답
780.
2풀이 2 — 빈칸 삽입 (보라·검정 먼저, 노랑 끼우기)
제약이 걸린 노랑을 빼고 먼저 배열한 뒤, 노랑을 안전한 틈에만 끼웁니다.
보라·검정 배열
노랑을 제외한 보라 4·검정 4를 일렬로: \dfrac{8!}{4!\,4!}=70가지. 각 배열에 9개의 틈이 생긴다.
안전한 틈
노랑은 양옆이 보라가 아닌 틈에만 들어갈 수 있다(끝·검정 옆은 안전). 안전한 틈 수 s에 노랑 4개(같은 공)를 중복조합으로 넣기 \binom{s+3}{4}.
보라 덩어리 수로 분류·합산
안전한 틈 수는 보라의 덩어리(블록) 수에 따라 정해진다:
| 보라 블록 수 | 배열 수 | s | 노랑 삽입 \binom{s+3}{4} | 소계 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 4 | 35 | 175 |
| 2 | 30 | 3 | 15 | 450 |
| 3 | 30 | 2 | 5 | 150 |
| 4 | 5 | 1 | 1 | 5 |
정답
175+450+150+5=780. 풀이 1과 일치.
검산 — 780이 맞나?
\dfrac{12!}{4!4!4!}=34650가지 전체 배열을 전수조사해 노랑–보라 인접이 없는 것만 세면 정확히 780. 두 풀이(단색 분배 / 빈칸 삽입) 모두 같은 값. ✓
핵심 재확인: 금지 쌍이 노랑–보라 하나뿐이라, 중립색(검정)을 칸막이로 쓰면 “섞이지 않게 분배”로 환원된다.
analysis_mock_test · 동적 풀이 · 2027 6월모평 확통 30번 · 정답 780
Comments
Comments (0)
Leave a Comment