2027 6월 모평 · 확률과통계 · 경우의 수
'이웃 금지'는 칸막이로 바꾼다
문제2027학년도 6월 모의평가 · 확률과통계 30번 · 이웃 금지 배열
노란색 공 4개, 보라색 공 4개, 검은색 공 4개가 있다. 이 12개의 공을 모두 일렬로 나열할 때, 노란색 공이 보라색 공과 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)
정답780
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①검정 4개 → 5칸 → 한 칸 한 색 분배!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 금지된 쌍은 노랑-보라 하나뿐. 검정 4개를 먼저 세우면 5개의 칸이 생기고, 서로 다른 칸의 공은 사이에 검정이 있어 절대 이웃하지 않는다.
원리② 각 칸에 노랑 전용·보라 전용(또는 빈칸)으로만 채우면 조건이 자동으로 충족된다.
검정을 칸막이로 쓰면 이웃 금지 조건이 단색 분배 문제로 환원된다'는 연결을 잡아라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 검정 칸막이가 만든 5칸에 노랑·보라를 한 칸 한 색으로 분배하는 시뮬레이터. i(노랑 칸 수)·j(보라 칸 수)를 움직여 배치와 경우의 수를 보고, '전체 합산'으로 780을 확인.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1칸 만들기
검정 4개는 모두 같으니 한 줄로 고정 → 양끝·사이의 5개 칸 생성. 각 칸엔 노랑/보라를 0개 이상 넣되, 한 칸엔 한 색만(섞이면 그 칸 안에서 노랑-보라가 붙음).
2덩어리로 분배
노랑 4개를 a개 칸에(각 칸 \ge1) 나누는 방법 {}_{3}\mathrm{C}_{a-1}, 보라 4개를 다른 b개 칸에 {}_{3}\mathrm{C}_{b-1}. 두 색 칸은 겹치면 안 됨(a+b\le5).
3칸 고르기 × 분배 합산
\sum_{\substack{a,b\ge1\\a+b\le5}} {}_{5}\mathrm{C}_{a}{}_{5-a}\mathrm{C}_{b}{}_{3}\mathrm{C}_{a-1}{}_{3}\mathrm{C}_{b-1}=780.
4정답
780.
접근법 ②보라·검정 먼저 배열 후 안전한 틈에 노랑 끼우기!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 제약이 걸린 노랑을 빼고 먼저 보라·검정을 배열하면 9개의 틈이 생긴다.
원리② 노랑은 양옆이 보라가 아닌 '안전한 틈'에만 들어갈 수 있다. 안전한 틈 수는 보라의 덩어리(블록) 수로 결정된다.
보라 블록 수로 분류하면 안전한 틈 수가 결정되고, 중복조합으로 노랑 배분을 셀 수 있다'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
없음(조합/급수). 접근법①과 동일.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1보라·검정 배열
노랑을 제외한 보라 4·검정 4를 일렬로: \dfrac{8!}{4!\,4!}=70가지. 각 배열에 9개의 틈이 생긴다.
2안전한 틈
노랑은 양옆이 보라가 아닌 틈(끝·검정 옆)에만 들어갈 수 있다. 안전한 틈 수 s에 노랑 4개(같은 공)를 중복조합으로 넣기 {}_{s+3}\mathrm{C}_{4}.
3보라 블록 수로 분류·합산
보라 블록 수별 소계:
- 블록 1개: 배열 5, s=4, {}_{7}\mathrm{C}_{4}=35 → 175
- 블록 2개: 배열 30, s=3, {}_{6}\mathrm{C}_{4}=15 → 450
- 블록 3개: 배열 30, s=2, {}_{5}\mathrm{C}_{4}=5 → 150
- 블록 4개: 배열 5, s=1, {}_{4}\mathrm{C}_{4}=1 → 5
- 블록 1개: 배열 5, s=4, {}_{7}\mathrm{C}_{4}=35 → 175
- 블록 2개: 배열 30, s=3, {}_{6}\mathrm{C}_{4}=15 → 450
- 블록 3개: 배열 30, s=2, {}_{5}\mathrm{C}_{4}=5 → 150
- 블록 4개: 배열 5, s=1, {}_{4}\mathrm{C}_{4}=1 → 5
4정답
175+450+150+5=780. 풀이 1과 일치.
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