2027 7월 학평 · 미적분 · 역함수의 미분과 부분적분
미분 한 번으로 역함수의 관계식 g(eˣ)=f(x)를 찾아낸다
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 미적분 28번 · 역함수 적분과 부분적분
함수 f(x)=x-\dfrac{1}{e^x+1}의 역함수 f^{-1}(x)와 x>0에서 정의된 연속함수 g(x)가 모든 실수 x에 대하여
\int_1^{e^x} f^{-1}\bigl(g(t)\bigr)\,dt=(x-1)e^x+k\quad(k\text{는 상수})
를 만족시킨다. 함수 g(x)의 역함수 g^{-1}(x)에 대하여
\int_{f(0)}^{f(k)}\bigl(f^{-1}(x)+g^{-1}(x)\bigr)dx
의 값은? [4점]
정답e
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①미분해서 g(eˣ)=f(x) 확보 → 치환 x=f(u) → 부분적분
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 조건식 양변을 x로 미분하면 f^{-1}(g(e^x))e^x=xe^x에서 곧바로 g(e^x)=f(x), 즉 g^{-1}(f(x))=e^x가 나온다.
원리② 적분변수를 x=f(u)로 치환하면 f^{-1}(x)+g^{-1}(x)가 u+e^u로 바뀌고, dx=f'(u)du를 곱한 뒤 부분적분 한 번이면 끝난다.
역함수를 직접 구하지 말고, 조건식을 미분해 관계식부터 찾아라'.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 f^{-1}(x)(파랑)·g^{-1}(x)=e^{f^{-1}(x)}(초록)·합 f^{-1}(x)+g^{-1}(x)(보라 굵은선)을 x축(적분변수) 기준으로 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1k 결정
x=0을 대입하면 \displaystyle\int_1^{1} f^{-1}(g(t))\,dt=0=(0-1)e^0+k이므로 k=1. 따라서 f(k)=f(1).
2미분해서 g(eˣ)=f(x) 확보
주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f^{-1}(g(e^x))\cdot e^x=xe^x이고 e^x>0이므로 f^{-1}(g(e^x))=x, 즉 g(e^x)=f(x). 따라서 g^{-1}(f(x))=e^x.
3치환 x=f(u)
x=f(u)로 치환하면 f^{-1}(x)=u, g^{-1}(x)=g^{-1}(f(u))=e^u. x=f(0)일 때 u=0, x=f(1)일 때 u=1, dx=f'(u)\,du이므로 \displaystyle\int_{f(0)}^{f(1)}\bigl(f^{-1}(x)+g^{-1}(x)\bigr)dx=\int_0^1(u+e^u)f'(u)\,du.
4부분적분 한 번
\displaystyle\int_0^1(u+e^u)f'(u)\,du=\Bigl[(u+e^u)f(u)\Bigr]_0^1-\int_0^1(1+e^u)f(u)\,du. f(0)=-\tfrac12,\ f(1)=1-\tfrac1{e+1}이므로 첫 항은 (1+e)\Bigl(1-\tfrac1{e+1}\Bigr)-1\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr)=e+\tfrac12.
5나머지 적분과 정답
(1+e^u)f(u)=(1+e^u)\Bigl(u-\tfrac1{e^u+1}\Bigr)=u+ue^u-1이므로 \displaystyle\int_0^1(1+e^u)f(u)\,du=\int_0^1(u-1)\,du+\int_0^1 ue^u\,du=-\tfrac12+1=\tfrac12. 그러므로 값은 e+\tfrac12-\tfrac12=\boxed{e} (선택지 ①).
접근법 ②역함수 적분(사각형) 공식으로 두 부분을 따로 계산
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① \displaystyle\int_a^b f^{-1}(x)dx=b f^{-1}(b)-af^{-1}(a)-\int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}f(u)du (역함수 적분의 사각형 공식)을 그대로 적용하면 f^{-1} 부분은 f(u)의 정적분 하나로 환원된다.
원리② g^{-1} 부분은 동일한 치환 x=f(u)로 \int_0^1 e^uf'(u)du가 되고, 부분적분으로 독립적으로 계산해 두 값을 더하면 로그·분수 항이 모두 상쇄되어 e만 남는다.
두 역함수를 하나로 합치지 말고 따로 계산해도, 결국 같은 답 e로 수렴한다는 것을 교차검증하라'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1역함수 적분(사각형) 공식
\displaystyle\int_a^b f^{-1}(x)\,dx=b\,f^{-1}(b)-a\,f^{-1}(a)-\int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}f(u)\,du에 a=f(0),\ b=f(1)을 넣으면 f^{-1}(a)=0,\ f^{-1}(b)=1이므로 \displaystyle\int_{f(0)}^{f(1)}f^{-1}(x)\,dx=f(1)-\int_0^1 f(u)\,du.
2∫f(u)du 계산
\displaystyle\int_0^1 f(u)\,du=\int_0^1\Bigl(u-\tfrac1{e^u+1}\Bigr)du=\tfrac12-\Bigl[u-\ln(e^u+1)\Bigr]_0^1=-\tfrac12+\ln\tfrac{e+1}2. 따라서 f^{-1} 부분 =f(1)-\Bigl(-\tfrac12+\ln\tfrac{e+1}2\Bigr)=\tfrac32-\tfrac1{e+1}-\ln\tfrac{e+1}2.
3g⁻¹ 부분은 치환+부분적분
x=f(u) 치환: \displaystyle\int_{f(0)}^{f(1)}g^{-1}(x)\,dx=\int_0^1 e^u f'(u)\,du, f'(u)=1+\dfrac{e^u}{(e^u+1)^2}이므로 =\displaystyle\int_0^1 e^u\,du+\int_0^1\dfrac{e^{2u}}{(e^u+1)^2}\,du=(e-1)+\Bigl[\ln(e^u+1)+\dfrac1{e^u+1}\Bigr]_0^1.
4정리
=(e-1)+\Bigl(\ln(e+1)+\tfrac1{e+1}\Bigr)-\Bigl(\ln2+\tfrac12\Bigr)=e-\tfrac32+\ln\tfrac{e+1}2+\tfrac1{e+1}.
5두 부분을 합치면
\Bigl(\tfrac32-\tfrac1{e+1}-\ln\tfrac{e+1}2\Bigr)+\Bigl(e-\tfrac32+\ln\tfrac{e+1}2+\tfrac1{e+1}\Bigr)=\boxed{e}. 풀이 1과 일치 (선택지 ①).
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