PATTERN LAB · 모의고사 분석
2027 6월 모평 수학 공통 14·15·21·22번 — 변별 4문항 단계별 상세 풀이
2027학년도 6월 모의평가 · 수학 공통(수학Ⅰ·Ⅱ) · 변별 4문항 완전 상세 풀이
2027학년도 6월 모의평가 수학 공통의 변별 4문항 14·15·21·22번을 식 전개 한 줄까지 단계별로 풀이했습니다. 단원이 삼각함수·적분·미분·수열로 수학Ⅰ·Ⅱ 전 범위에 고르게 분포한 점이 이번 시험의 특징입니다.
01
SOLUTIONS
공통 14·15·21·22번, 단계별로 끝까지
각 문항의 문제·정답·핵심 아이디어를 먼저 보고, 단계별 상세 풀이로 전개를 한 줄씩 따라가세요.
14번 · 수학Ⅰ · 삼각함수 — 방정식 실근 개수
난이도 중상
문제
양수 a와 자연수 b에 대하여 0\le x\le 2일 때 x에 대한 방정식 \left(\cos(b\pi x)-\tfrac12\right)\!\left(a\cos(b\pi x)+\tfrac{a+2}{2}\right)=0의 서로 다른 실근의 개수가 15일 때, a+b의 값은?
정답a+b=7 (a=2,\ b=5)
핵심 아이디어
곱이 0이면 두 코사인 방정식으로 분해됩니다. 각 방정식의 주기당 교점 수와 끝점을 따져 실근 개수의 홀짝으로 15를 만드는 a,b를 역산합니다.
풀이 — 곱=0 분해 + 주기당 교점
두 인수를 각각 0으로 두고 [0,2]에서의 해 개수를 셉니다.
단계별 상세 풀이
1곱=0 분해
\cos(b\pi x)=\tfrac12 또는 a\cos(b\pi x)+\tfrac{a+2}{2}=0, 즉 \cos(b\pi x)=-\dfrac{a+2}{2a}.
2첫 방정식의 해 수
x\in[0,2]에서 \theta=b\pi x\in[0,2b\pi] — b주기. \cos\theta=\tfrac12은 주기당 2개 → 2b개 (끝점 x{=}0,2는 \cos\theta=1\neq\tfrac12라 제외).
3둘째 방정식의 값 범위
a>0이라 -\dfrac{a+2}{2a}<0. 실근이 있으려면 \ge-1 → \dfrac{a+2}{2a}\le1\Rightarrow a\ge2.
4a>2 경우 배제
값이 (-1,0)에 들어가 \cos\theta=그 값도 주기당 2개 → 합 2b+2b=4b(짝수). 15(홀수) 불가.
5a=2 경우
값 =-\dfrac{4}{4}=-1. \cos\theta=-1은 주기당 1개(\theta=\pi,3\pi,\dots) → b개. 합 2b+b=3b=15\Rightarrow b=5.
6결론
a=2,\ b=5\ \Rightarrow\ a+b=7.
(서로 다른 실근: \cos=\tfrac12의 10개 + \cos=-1의 5개 = 15.)15번 · 수학Ⅱ · 적분법 — 절댓값 정적분
난이도 상
문제
상수항이 0인 삼차함수 f(x)가 다음 두 조건을 만족시킬 때, f(6)의 값은?
(가) \displaystyle\int_{p}^{p+3}|f(x)|\,dx\neq\left|\int_{p}^{p+3}f(x)\,dx\right| 이 성립하게 하는 모든 실수 p의 범위가 0<p<3이다.
(나) \displaystyle\int_{0}^{3}|f(x)+q|\,dx\neq\left|\int_{0}^{3}(f(x)+q)\,dx\right| 이 성립하게 하는 모든 실수 q의 범위가 0<q<1이다.
(가) \displaystyle\int_{p}^{p+3}|f(x)|\,dx\neq\left|\int_{p}^{p+3}f(x)\,dx\right| 이 성립하게 하는 모든 실수 p의 범위가 0<p<3이다.
(나) \displaystyle\int_{0}^{3}|f(x)+q|\,dx\neq\left|\int_{0}^{3}(f(x)+q)\,dx\right| 이 성립하게 하는 모든 실수 q의 범위가 0<q<1이다.
정답f(6)=27
핵심 아이디어
핵심 보조정리: \int|g|\neq\left|\int g\right| \iff 구간에서 g가 부호를 바꾼다. 두 조건을 ‘부호 변화 위치’로 번역하면 f가 확정됩니다.
풀이 — 절댓값 적분을 부호 변화로
두 조건이 주는 부호 변화 위치로 f의 근 구조와 계수를 확정합니다.
단계별 상세 풀이
1보조정리
\int_I|g|\neq\left|\int_I g\right|은 g가 구간 I에서 양·음을 모두 가질 때, 즉 부호 변화가 있을 때만 성립.
2조건 (가) → 부호 변화는 x=3
길이 3 구간 [p,p+3]이 부호변화근 r를 내부에 품는 p범위는 (r-3,\,r). 이것이 (0,3)이려면 r=3.
3x=0은 중근
f(0)=0이지만 x=0에서 부호가 바뀌면 (-3,0) 구간이 추가돼 모순. 따라서 0은 중근 → f(x)=c\,x^2(x-3).
4조건 (나) → 최솟값
c>0이면 [0,3]에서 f\le0, 최솟값 f(2)=-4c. f+q는 0<q<4c에서 부호 변화(양끝 q>0, 내부 -4c+q<0). 이것이 (0,1)이려면 4c=1\Rightarrow c=\tfrac14.
5결론
f(x)=\tfrac14 x^2(x-3)\ \Rightarrow\ f(6)=\tfrac14\cdot36\cdot3=27.
21번 · 수학Ⅱ · 미분법 — 삼차함수·최대 근의 불연속
난이도 상
문제
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 있다. 실수 t에 대하여 f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4를 만족시키는 실수 \alpha의 최댓값을 g(t)라 하자. 함수 g(t)가 t=3에서만 불연속이고 g(3)=1일 때, f(2)의 값을 구하시오.
정답f(2)=11
핵심 아이디어
g(t)는 ‘f(\alpha)=V(t)의 최대 근’ — 삼차곡선과 수평선의 가장 오른쪽 교점. 최대 근은 V(t)가 f의 극솟값을 지날 때 점프하므로, 유일 불연속 조건이 f를 확정합니다.
풀이 — 최대 근의 점프 = 극솟값 통과
불연속이 한 곳뿐 + g(3)=1 조건으로 계수 b, c, d를 차례로 확정합니다.
단계별 상세 풀이
1최대 근 함수의 불연속
V(t)=f'(t)-4t^2+4로 두면 g(t)는 f(\alpha)=V(t)의 최대 근. 삼차(최고차 1)에서 최대 근은 V가 극솟값 m을 통과할 때만 점프(불연속).
2유일 불연속 → 접함
g가 t=3에서만 불연속이려면 V(t)=m이 t=3에서만, 즉 V(t)=m-(t-3)^2 꼴로 접해야 함.
3b=3 결정
f(x)=x^3+bx^2+cx+d → V(t)=f'(t)-4t^2+4=-t^2+2bt+(c+4). 정점이 t=b이고 접점이 t=3 → b=3.
4g(3)=1 → c=-9
접점에서 최대 근 = 극소점의 x좌표 =1 → f'(1)=0. f'(x)=3x^2+6x+c에서 3+6+c=0\Rightarrow c=-9. (f'=3(x+3)(x-1) → x=1이 극소 ✓)
5d=9 결정
V(3)=m=f(1). V(3)=-9+18-5=4, f(1)=1+3-9+d=-5+d → -5+d=4\Rightarrow d=9.
6결론
f(x)=x^3+3x^2-9x+9\ \Rightarrow\ f(2)=8+12-18+9=11.
KILLER · 22번
22번 · 수학Ⅰ · 수열 — 점화식 (킬러)
난이도 최상
문제
수열 \{a_n\}은 a_1=1,\ a_3=4이고, 모든 자연수 n에 대하여 a_{2n}=a_n+1,\quad a_{4n+1}=a_{4n+3}=a_n+4를 만족시킨다. a_k=10을 만족시키는 자연수 k의 개수를 구하시오.
정답32 개
핵심 아이디어
점화식을 인덱스를 키우는 연산으로 읽습니다. \times2는 값 +1, 4n{+}1/4n{+}3 계열은 값 +4. a_k=10은 뿌리(1 또는 4)에서 누적 증가가 10이 되는 인덱스의 개수입니다.
풀이 — 점화식을 인덱스 생성 연산으로
값을 거꾸로 올리며 a_k=10이 되는 모든 k를 빠짐없이 나열합니다.
단계별 상세 풀이
1점화식 정리
짝수 m: a_m=a_{m/2}+1. 홀수 m\ge5: a_m=a_{\lfloor m/4\rfloor}+4 (m=4j{+}1 또는 4j{+}3). 뿌리 a_1=1,\ a_3=4.
2a_k=10의 부모
a_k=10이 되려면 부모가 a=9(짝수 자식 k=2j) 또는 a=6(홀수 자식 k=4j{+}1,4j{+}3).
3값 6·9 노드에서 자식 생성
a=6 노드 6개 → 홀수 자식 12개, a=9 노드 20개 → 짝수 자식 20개. (각 노드를 뿌리에서 연산으로 추적)
4최대 인덱스
값을 +1씩 올리는 \times2 연산이 인덱스를 가장 빨리 키움 → 뿌리 1에서 \times2를 9번: 2^9=512,\ a_{512}=10. 그 이상 인덱스는 값이 10 초과 → 유한.
5모든 k 나열
k=37,39,41,42,43,45,46,47,49,50,51,52,54,57,58,59,60,62, 129,130,131,132,134,136,140,144,152,160,176,192,224,512.
6결론
a_k=10\ \text{인 }k\text{의 개수}=32.
02
CONCLUSION
여러 풀이법, 왜 함께 봐야 할까?
단원이 고르게 분포 — 변별 4문항이 삼각함수·적분·미분·수열로 수학Ⅰ·Ⅱ 전 영역에 걸칩니다. 특정 단원 편중 없이 전 범위를 균형 있게 학습해야 합니다.
조건의 재해석이 핵심 — 15번은 절댓값 적분을 부호 변화로, 21번은 최대 근을 그래프의 최우측 교점으로, 22번은 점화식을 인덱스 생성 연산으로 번역하는 힘이 변별을 가릅니다.
22번 킬러는 점화식을 인덱스를 키우는 연산으로 읽으면 경우의 수 문제로 환원됩니다. 값을 거꾸로 올리며 a_k=10이 되는 인덱스를 빠짐없이 세는 것이 관건입니다.
03
FAQ
자주 묻는 질문 (FAQ)
Q1. 2027학년도 6월 모의평가 수학 공통영역 난이도는 어땠나요?
A. 공통 22문항 중 14·15·21·22번 4문항에서 변별이 집중됐습니다. 단원이 삼각함수·적분·미분·수열로 고르게 분포해, 전 범위를 균형 있게 준비해야 하는 시험이었습니다.
Q2. 각 문제의 정답은 무엇인가요?
A. 14번은 a+b=7 (a=2, b=5), 15번은 f(6)=27, 21번은 f(2)=11, 22번은 32개입니다.
Q3. 가장 어려운 킬러 문항은 무엇이었나요?
A. 22번(수학Ⅰ·수열)이 최고난도 킬러입니다. 여러 점화식을 인덱스를 키우는 연산으로 재해석해, a_k=10이 되는 인덱스(경우의 수)를 세는 고난도 문항입니다.
Q4. 15번·21번 같은 조건형 문제는 어떻게 접근하나요?
A. 주어진 조건을 다른 언어로 번역하는 것이 핵심입니다. 15번은 절댓값 적분 조건을 함수의 부호 변화로, 21번은 최대 근을 그래프의 가장 오른쪽 교점으로 바꾸면 풀이의 실마리가 보입니다.
Q5. 이 모의고사로 무엇을 점검해야 하나요?
A. 추상적 조건을 그래프·연산·경우의 수 문제로 재해석하는 능력과, 수학Ⅰ·Ⅱ 전 단원에 걸친 고른 숙련도입니다.
PATTERN LAB · 2027학년도 6월 모의평가 수학 공통 · 단계별 상세 풀이
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