2027 7월 학평 · 공통수학 · 지수함수·로그함수와 도형 · 킬러KILLER
역함수 대칭이동은 결국 '같은 원 위의 점'을 만든다
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 공통 22번 · 지수·로그함수의 대칭성과 넓이비 (킬러)
두 자연수 m, n에 대하여 곡선 y=2^{x-m}+n 위의 점 A(a,b)\ (a<b)가 제1사분면에 있다. 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 B라 하자. 점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 5\sqrt2인 원이 곡선 y=\log_2(x-n+1)+m-7과 만나는 두 점 중 x좌표가 작은 점을 C라 할 때, 세 점 A, B, C가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 직선 AC와 직선 y=\dfrac13x는 서로 수직이다.
(나) 삼각형 AOB와 삼각형 ACB의 넓이의 비는 27:8이다.
m+n의 최댓값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) [4점]
정답26
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①B를 평행이동하면 원 위의 점이 곧 C!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① y=2^{x-m}+n의 역함수는 y=\log_2(x-n)+m이고, 이를 x로 -1, y로 -7 평행이동한 것이 문제의 로그곡선. 점 A를 y=x로 대칭이동한 B는 역함수 위의 점이므로, B를 같은 만큼 평행이동한 점 B'=(b-1,a-7)은 로그곡선 위의 점이다.
원리② \overline{BB'}=\sqrt{1^2+7^2}=5\sqrt2 — 바로 원의 반지름! 그러므로 B'은 원 위의 점이면서 동시에 로그곡선 위의 점이니, 두 교점 중 하나와 반드시 일치한다.
좌표를 굴리지 말고, B'이 C와 같다는 사실부터 확정한 뒤 조건 (가)(나)를 직선의 기울기·거리 공식으로 풀어라'가 이 문제의 지름길이다.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스: 고정점 A(11,16), B(16,11), C(15,4), 원점 O, 직선 y=x(점선), 직선 AB, 중심 B 반지름 5\sqrt2인 원, 곡선 y=2^{x-m}+n(현재 m에 대해 n=16-2^{11-m}로 계산해 그림).
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1역함수 평행이동으로 B'이 곧 C
f(x)=2^{x-m}+n의 역함수는 y=\log_2(x-n)+m. 문제의 곡선 g(x)=\log_2(x-n+1)+m-7은 이를 x축 방향 -1, y축 방향 -7 평행이동한 것. B를 역함수 위의 점이라 보고 같은 평행이동을 적용한 B'(b-1,a-7)은 g 위의 점이며, \overline{BB'}=\sqrt{(-1)^2+(-7)^2}=5\sqrt2이므로 B'은 원 위의 점이기도 하다. 원과 곡선 g의 두 교점 중 x좌표가 작은 쪽이 C인데, B'이 D(큰 쪽)와 같다고 가정하면 거리 모순이 생겨 B'=C.
2조건 (가): 직선 AC의 기울기 =-3
A(a,b), C(b-1,a-7)에서 기울기 \dfrac{b-(a-7)}{a-(b-1)}=-3을 정리하면 b-a+7=-3(a-b+1)\Rightarrow a-b+5=0, 즉 b-a=5.
3조건 (나): 넓이비 → 거리비
직선 AB: x+y=a+b. O,C와 이 직선 사이 거리는 h_1=\dfrac{a+b}{\sqrt2}, h_2=\dfrac{\lvert(b-1)+(a-7)-(a+b)\rvert}{\sqrt2}=\dfrac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2. 넓이비 =h_1:h_2=27:8에서 8h_1=27h_2\Rightarrow a+b=27.
4a,b 확정 → m,n의 관계식
b-a=5,\ a+b=27에서 a=11,\ b=16, 즉 A(11,16). A가 y=2^{x-m}+n 위의 점이므로 2^{11-m}+n=16. m,n이 자연수이려면 2^{11-m}이 정수여야 하므로 m\le11이고, n=16-2^{11-m}\ge1이어야 하므로 2^{11-m}\le15.
5정답
m=8,9,10,11일 때 각각 n=8,12,14,15 (모두 자연수), m+n=16,21,24,26. m=7이면 n=0(자연수 아님), m\ge12면 n이 정수가 아니므로 제외. 최댓값은 m+n=26(m=11,\ n=15).
접근법 ②거리·기울기 공식만으로 좌표를 손으로 확정!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① B'=C라는 사실만 받아들이면, 남은 일은 두 조건을 순수 좌표 공식(기울기, 점과 직선 사이 거리)으로 옮기는 것뿐 — 그래프 감각 없이도 연립방정식 두 개로 끝난다.
원리② a,b가 확정되면 m,n은 지수방정식 2^{11-m}+n=16 하나로 묶이므로, 자연수 조건을 만족하는 m을 7,8,\dots 순서로 직접 대입해 걸러낸다.
식 두 개(기울기, 넓이비)로 a,b를 잡고, 마지막은 정수 조건 대입 확인'이라는 흐름을 그대로 따라가라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1B'=C 전제하고 좌표만 놓기
A(a,b), B(b,a)(대칭이동), C=B'=(b-1,a-7)로 놓는다(원리①에서 확정된 사실).
2기울기 조건 → b-a=5
직선 AC의 방향벡터 (b-1-a,\,a-7-b)의 기울기가 -3: \dfrac{(a-7-b)}{(b-1-a)}=-3\Rightarrow a-b+5=0.
3넓이비 조건 → a+b=27
밑변 \overline{AB}를 공유하므로 넓이비는 높이비. O와 직선 AB(x+y=a+b) 사이 거리 : C와의 거리 =27:8. C와의 거리는 상수 4\sqrt2로 고정되므로 \dfrac{(a+b)/\sqrt2}{4\sqrt2}=\dfrac{27}{8}\Rightarrow a+b=27.
4A(11,16)에서 지수방정식
a=11,\ b=16이므로 2^{11-m}+n=16. m,n은 자연수이고 2^{11-m}이 양의 정수여야 하므로 m\in\{1,\dots,11\}, 그 중 n=16-2^{11-m}\ge1인 m만 유효.
5정답
m=8,9,10,11에서 (m,n)=(8,8),(9,12),(10,14),(11,15)이고 m+n의 최댓값은 11+15=26. 풀이 1과 동일.
KEYWORDS2027 7월 학평7월 학평 수학7모7월 모의고사고3 7월 학평2027학년도 7월 전국연합7월 학평 수학 분석모의고사 수학 해설7월 학평 22번공통수학 22번7모 22번전국연합학력평가교육청 모의고사수능 수학
PATTERN LAB · 2027 7월 학평 공통 22번 · 인터랙티브 학습형 풀이
Comments
Comments (0)
Leave a Comment