초점·꼭짓점이 곡선을 다 정한다 — 남은 건 “높이 맞추기”
초점과 꼭짓점이 주어지면 쌍곡선·포물선·준선의 식이 정의로 모두 결정됩니다. 미지수 a는 두 교점의 y^2을 같다고 놓는 방정식 하나로 정해집니다.
두 초점이 \mathrm F(3,0),\ \mathrm F'(-3,0)인 쌍곡선 C_1의 x좌표가 음수인 꼭짓점을 \mathrm A(-a,0)\,(a>0), 초점이 \mathrm F이고 꼭짓점이 \mathrm A인 포물선을 C_2, 그 준선을 l이라 하자. C_1과 C_2가 만나는 제1사분면 점의 y좌표와, C_1과 l이 만나는 제2사분면 점의 y좌표가 같을 때 a^2=\dfrac qp 이다. p+q의 값을 구하시오. (p,q 서로소 자연수)
두 교점을 같은 높이로 — 쌍곡선의 y축 대칭이 결정타
정의로 세 식을 세웁니다: C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9-a^2}=1, C_2:y^2=4(3+a)(x+a), l:x=-(2a+3).
두 교점의 높이가 같고 쌍곡선은 y축 대칭이라 두 점은 x=\pm(2a+3)로 대칭. 포물선에 x=2a+3, 준선점은 쌍곡선 위 — 등치하면 4=\dfrac{9-a^2}{a^2}\Rightarrow5a^2=9.
▶핵심을 눈으로 확인
a를 움직이면 쌍곡선 C_1·포물선 C_2·준선 l이 함께 변합니다. HUD의 두 높이 y_1^2(C_1\cap C_2), y_2^2(C_1\cap l)가 a^2=\tfrac95\,(a\approx1.342)에서 정확히 일치합니다.
1풀이 1 — 정의식 비교 (정석)
정의로 세 식을 세우고, 두 교점의 y^2을 같다고 놓아 a의 방정식을 얻습니다.
2풀이 2 — 쌍곡선 대칭 (통찰)
(a+3)^2 약분이나 복잡한 y^2식 없이, 대칭 한 번으로 끝냅니다.
검산 — 쌍곡선이 제대로 정의되나?
a^2=\tfrac95<9\Rightarrow 9-a^2>0 — 쌍곡선이 제대로 정의되고 교점도 존재 ✓. 또 3-a=3-1.342>0 이라 y_1^2>0 ✓. 위 인터랙티브에서 a\approx1.342일 때 두 높이가 일치하고, 두 교점이 x\approx\pm5.68로 대칭임을 확인.
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