2027 6월 모평 · 기하 · 이차곡선(쌍곡선·포물선)
초점·꼭짓점이 곡선을 다 정한다 — 남은 건 '높이 맞추기'
문제2027학년도 6월 모의평가 · 기하 29번 · 쌍곡선·포물선·준선 교점
두 초점이 \mathrm{F}(3,0),\,\mathrm{F}'(-3,0)인 쌍곡선 C_1의 x좌표가 음수인 꼭짓점을 \mathrm{A}(-a,0)\,(a>0), 초점이 \mathrm{F}이고 꼭짓점이 \mathrm{A}인 포물선을 C_2, 그 준선을 l이라 하자. C_1과 C_2가 만나는 제1사분면 점의 y좌표와, C_1과 l이 만나는 제2사분면 점의 y좌표가 같을 때 a^2=\dfrac{q}{p}이다. p+q의 값을 구하시오. (p,q 서로소 자연수)
정답p+q=14
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①정의식 세 개 → 두 y^2 등치 → 방정식 하나!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 초점과 꼭짓점이 주어지면 C_1,C_2,l의 식이 정의로 모두 결정된다.
원리② 두 교점의 y좌표가 같으므로 y_1^2=y_2^2으로 놓으면 (a+3)^2을 약분한 뒤 (a+3)(5a^2-9)=0이 나온다.
미지수 a에 대한 방정식 하나로 귀결됨'을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 쌍곡선 C_1(파란), 포물선 C_2(초록), 준선 l(보라 점선) 동시 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
11단계 — 정의로 세 식
C_1:\,\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{9-a^2}=1,\quad C_2:\,y^2=4(3+a)(x+a),\quad l:\,x=-(2a+3).
22단계 — 두 교점의 y^2
C_1\cap C_2:\,y_1^2=\dfrac{8a(a+3)^2}{3-a},\qquad C_1\cap l:\,y_2^2=\dfrac{3(3-a)(3+a)^2(a+1)}{a^2}.
33단계 — 등치 → (3+a)^2 약분
y_1^2=y_2^2\Rightarrow 5a^3+15a^2-9a-27=(a+3)(5a^2-9)=0.
44단계 — 정답
a>0이라 a+3\ne0 → 5a^2-9=0 → a^2=\tfrac95. p=5,q=9\Rightarrow p+q=14.
접근법 ②쌍곡선 대칭 한 번 — 두 점이 x=\pm(2a+3)으로 확정!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 두 교점은 같은 높이 Y. 쌍곡선은 y축 대칭이라 같은 높이에서 |x|가 같다.
원리② 준선점은 x=-(2a+3)이므로 포물선과의 교점은 정확히 x=+(2a+3) — 대칭 하나로 x 좌표가 확정된다.
포물선에 x=2a+3을 대입하면 Y^2=12(3+a)(a+1)이 한 줄에 나온다'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1두 점은 x=\pm(2a+3) 대칭
두 교점은 같은 높이 Y. 쌍곡선은 y축 대칭이라 높이 Y에서 |x|가 같다. 준선점은 x=-(2a+3)이므로 포물선과의 교점은 정확히 x=+(2a+3).
2두 식의 Y^2
포물선에 x=2a+3 대입: Y^2=12(3+a)(a+1). 준선점은 쌍곡선 위: Y^2=\dfrac{3(9-a^2)(a+1)(a+3)}{a^2}.
3등치 → 한 줄
3(3+a)(a+1)을 약분하면
4=\dfrac{9-a^2}{a^2}\Rightarrow5a^2=9\Rightarrow a^2=\tfrac95\Rightarrow p+q=14.
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