2027 7월 학평 · 기하 · 포물선·쌍곡선 · 이차곡선
각 하나가 포물선을 고정하면, 둘레는 쌍곡선의 상수차를 두 배로 넘겨준다
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 기하 29번 · 포물선·쌍곡선 교점
초점이 \mathrm F(p,0)\,(p>0)이고 준선이 x=-p인 포물선이 있다. 점 \mathrm F'(-p,0)에 대하여 \cos(\angle\mathrm{PFF'})=\dfrac15을 만족시키는 이 포물선 위의 점 중 제1사분면에 있는 점을 P라 하고, 선분 \mathrm{PF'}의 중점을 R이라 하자. 두 점 \mathrm O,\mathrm F'을 초점으로 하고 점 R을 지나는 쌍곡선에 대하여 선분 \mathrm{PF'}과 쌍곡선이 만나는 점 중 R이 아닌 점을 Q라 하자. 삼각형 QOR의 둘레의 길이가 14일 때, 삼각형 PRO의 넓이를 S라 하자. S^2의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.)
정답S²=216
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①정의로 길이를 전부 p로 → 닮음으로 RF',RO → 쌍곡선 정의로 둘레!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 포물선의 정의(초점-준선 거리)로 \overline{PF},\overline{PF'}를 모두 p 하나의 식으로 표현할 수 있다.
원리② 삼각형 \mathrm{PF'F}\sim\mathrm{RF'O}(닮음비 2:1)로 \overline{RF'},\overline{RO}를 얻고, 쌍곡선의 정의 \overline{RF'}-\overline{RO}=\overline{QO}-\overline{QF'}=2a를 삼각형 QOR의 둘레에 대입하면 2a가 소거되어 둘레=2\overline{RF'}라는 한 줄이 남는다.
둘레 조건 하나가 곧 \overline{RF'}을 확정한다'는 것을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 포물선 y^2=4px(초록), 쌍곡선(파란, 초점 O·F'), 점 F,F',P,R,Q,O 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
11단계 — 포물선 위 P의 좌표
포물선 y^2=4px 위의 점 \mathrm P(m,n)\,(m,n>0)에서 준선 x=-p에 내린 수선의 발을 \mathrm P'이라 하면 정의에 의해 \overline{PF}=\overline{PP'}=p+m. x축에 내린 수선의 발 S에서 \overline{SF}=p-m이고 \cos(\angle PFF')=\dfrac{\overline{SF}}{\overline{PF}}=\dfrac{p-m}{p+m}=\dfrac15에서 m=\dfrac23p.
22단계 — 길이 확정
\overline{PF}=\dfrac53p,\ \overline{SF}=\dfrac13p이므로 \overline{PS}=\sqrt{\overline{PF}^2-\overline{SF}^2}=\dfrac{2\sqrt6}3p이고 \overline{F'S}=\dfrac53p에서 \overline{PF'}=\sqrt{\overline{PS}^2+\overline{F'S}^2}=\dfrac73p.
33단계 — 닮음으로 RF', RO 확정
R은 \overline{PF'}의 중점이므로 \overline{RF'}=\dfrac12\overline{PF'}=\dfrac76p. O가 \overline{F'F}의 중점이고 \triangle PF'F\sim\triangle RF'O(닮음비 2:1, 공통각 F')이므로 \overline{RO}=\dfrac12\overline{PF}=\dfrac56p.
44단계 — 쌍곡선 정의로 둘레 정리
R,Q는 초점 O,F'인 쌍곡선 위의 점이므로 \overline{RF'}-\overline{RO}=\overline{QO}-\overline{QF'}=2a. 삼각형 QOR의 둘레는 \overline{RQ}+\overline{QO}+\overline{RO}=(\overline{RF'}-\overline{QF'})+\overline{QO}+\overline{RO}=\overline{RF'}+2a+\overline{RO}=2\overline{RF'}=14이므로 \overline{RF'}=7.
55단계 — p 확정과 넓이 → 정답
\dfrac76p=7\Rightarrow p=6. \overline{PS}=\dfrac{2\sqrt6}3\times6=4\sqrt6,\ \overline{F'O}=p=6이고 R이 \overline{PF'}의 중점이므로 \triangle PRO=\dfrac12\triangle PF'O=\dfrac12\left(\dfrac12\times6\times4\sqrt6\right)=6\sqrt6. \therefore S^2=(6\sqrt6)^2=216.
접근법 ②도형 전체가 p의 배율 — 둘레·넓이를 p의 식으로 한 번에!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① \cos(\angle PFF')=\dfrac15라는 조건은 도형의 '모양'(비율)만 고정하고, 실제 길이는 전부 p에 비례한다.
원리② 그러므로 삼각형 QOR의 둘레도 p의 1차식, S^2도 p^4에 비례한 식으로 미리 써 두고, 조건(둘레=14) 하나로 p만 구하면 끝난다.
전체를 한 번 식으로 정리해 두면 스케일링으로 즉시 풀린다'는 것을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1① 둘레의 p 비례식
풀이1의 1~4단계와 같은 구조로 \overline{RF'}=\dfrac76p임을 알면, 삼각형 QOR의 둘레=2\overline{RF'}=\dfrac73p.
2② p 결정
\dfrac73p=14\Rightarrow p=6.
3③ 넓이의 p⁴ 비례식과 정답
\triangle PRO=\dfrac12\left(\dfrac12\times p\times\dfrac{2\sqrt6}3p\right)=\dfrac{\sqrt6}6p^2이므로 S^2=\dfrac{p^4}6. p=6을 대입하면 S^2=\dfrac{1296}6=216.
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