2027 6월 모평 · 확률과통계 · 조건부확률
'곱이 홀수'가 표본공간을 절반의 절반으로
문제2027학년도 6월 모의평가 · 확률과통계 29번 · 주사위 곱·합 조건부확률
서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수일 때, 이 다섯 개의 눈의 수의 합이 15일 확률을 \dfrac{q}{p}라 하자. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수)
정답p+q=98
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①홀수 치환으로 선형화 → 포함배제!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 곱이 홀수 ⟺ 다섯 눈이 모두 홀수(1,3,5) → 조건부 표본공간이 3^5=243으로 줄어든다.
원리② 각 눈 x_i=2y_i+1 (y_i\in\{0,1,2\})으로 치환하면 합 15 조건이 \sum y_i=5 (0\le y_i\le2)로 선형화된다.
유계 분배를 중복조합 - 포함배제로 처리하면 답이 나온다'는 연결을 잡아라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
없음(조합/급수). 본 HTML에는 인터랙티브 캔버스 없음.
이 문항은 조합·급수·이산 구조라 직접 조작형 그래프 대신 표·도식으로 이해합니다. (위 단계별 풀이 참고)
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1치환
각 눈 x_i=2y_i+1 (y_i\in\{0,1,2\}). 합 \sum x_i=15 ⟺ 2\sum y_i+5=15 ⟺ \sum_{i=1}^{5} y_i=5.
2유계 분배 = 중복조합 − 초과
y_i\ge0 무제한이면 {}_{5+4}\mathrm{C}_{4}={}_{9}\mathrm{C}_{4}=126. 단 y_i\le2 위반(y_i\ge3)을 포함배제로 제거.
3포함배제
어떤 한 변수 y_i\ge3: y_i'=y_i-3으로 합 2 분배 {}_{2+4}\mathrm{C}_{4}={}_{6}\mathrm{C}_{4}=15, 변수 선택 5가지 → 5\times15=75. 두 변수 동시 \ge3이면 합 \ge6>5 불가능(0). ⇒ 126-75=51.
4정답
\dfrac{51}{243}=\dfrac{17}{81} → p+q=17+81=98.
접근법 ②편차로 직접 분류 — 1의 개수 = 5의 개수!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 다섯 눈(모두 1,3,5)의 평균은 3. 합이 15=3\times5이려면 편차의 합이 0이어야 한다.
원리② a = 눈 1의 개수, c = 눈 5의 개수라 하면 편차 -2a+2c=0\Rightarrow a=c — 단 세 가지 경우.
평균 3 기준 편차 합이 0인 경우를 직접 분류하면 다항계수로 빠르게 셀 수 있다'는 연결을 잡아라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
없음(조합/급수). 접근법①과 동일.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1편차 합 = 0
a=눈 1의 개수, b=눈 3, c=눈 5. a+b+c=5이고 합 a+3b+5c=15. 양변에서 3\times5=15를 빼면 -2a+2c=0\Rightarrow a=c.
2세 경우뿐
a=c, b=5-2a, a\in\{0,1,2\}:
- (a,b,c)=(0,5,0): \tfrac{5!}{5!}=1
- (1,3,1): \tfrac{5!}{1!3!1!}=20
- (2,1,2): \tfrac{5!}{2!1!2!}=30
- (a,b,c)=(0,5,0): \tfrac{5!}{5!}=1
- (1,3,1): \tfrac{5!}{1!3!1!}=20
- (2,1,2): \tfrac{5!}{2!1!2!}=30
3합산 → 정답
1+20+30=51. 동일하게 \dfrac{51}{243}=\dfrac{17}{81}, p+q=98.
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