2027 6월 모평 · 확률과통계(선택) · 조건부확률 · 난이도 ★★★★☆
“곱이 홀수”가 표본공간을 절반의 절반으로
곱이 홀수면 다섯 눈이 모두 홀수(1·3·5). 표본공간이 3^5=243으로 줄고, 그 위에서 합 15를 세면 끝. 세는 길은 두 갈래입니다.
문제
서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수일 때, 이 다섯 개의 눈의 수의 합이 15일 확률을 \dfrac qp라 하자. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수)
한 번에 이해하는 핵심
곱 홀수 ⟺ 다섯 눈 모두 \{1,3,5\} → 조건부 표본 3^5
곱이 홀수이려면 인수 중 짝수가 하나도 없어야 하므로 다섯 눈이 모두 1,3,5.
조건부확률이라 분모가 3^5=243. 그 위에서 합 =15인 경우 51가지.
확률 \dfrac{51}{243}=\dfrac{17}{81} → q=17,\ p=81 → p+q=98.
정답 p+q=98 (확률 \tfrac{17}{81})
1풀이 1 — 홀수 치환으로 선형화
각 눈을 1,3,5 \to 0,1,2로 옮기면 합 조건이 단순한 분배가 됩니다.
치환
각 눈 x_i=2y_i+1 (y_i\in\{0,1,2\}). 합 \sum x_i=15 ⟺ \sum(2y_i+1)=2\sum y_i+5=15 ⟺ \sum_{i=1}^{5} y_i=5.
유계 분배 = 중복조합 − 초과
y_i\ge0 무제한이면 \binom{5+4}{4}=\binom94=126. 단 y_i\le2 위반(y_i\ge3)을 포함배제로 제거.
포함배제
어떤 한 변수 y_i\ge3: y_i'=y_i-3로 합 2 분배 \binom{2+4}{4}=\binom64=15, 변수 선택 5가지 → 5\times15=75. 두 변수 동시 \ge3이면 합 \ge6>5 불가능(0). ⇒ 126-75=51.
정답
\dfrac{51}{243}=\dfrac{17}{81} → p+q=17+81=98.
2풀이 2 — 편차로 직접 분류 (“5의 개수 = 1의 개수”)
치환 없이 정면 돌파. 평균 3 기준 편차의 합이 0이어야 합니다.
편차 합 = 0
a=눈 1의 개수, b=눈 3, c=눈 5. a+b+c=5이고 합 1\cdot a+3\cdot b+5\cdot c=15. 양변에서 3\times5=15를 빼면 -2a+0\cdot b+2c=0\Rightarrow a=c.
세 경우뿐
a=c, b=5-2a, a\in\{0,1,2\}:
| (눈1, 눈3, 눈5) 개수 | 배열 수 \frac{5!}{a!\,b!\,c!} |
|---|---|
| (0, 5, 0) | \tfrac{5!}{5!}=1 |
| (1, 3, 1) | \tfrac{5!}{1!3!1!}=20 |
| (2, 1, 2) | \tfrac{5!}{2!1!2!}=30 |
합산 → 정답
1+20+30=51. 동일하게 \dfrac{51}{243}=\dfrac{17}{81}, p+q=98.
검산 — 51이 맞나?
\{1,3,5\}^5의 243가지를 전수조사하면 합 15인 경우 정확히 51가지(두 풀이 값과 일치). 기약분수 51/243=17/81, 서로소 17,81 → p+q=98. ✓
analysis_mock_test · 동적 풀이 · 2027 6월모평 확통 29번 · 정답 98
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