2027 7월 학평 · 기하 · 평면벡터(내적) · 직사각형
직각을 두 번 심어라 — 조건은 원, 답은 사영
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 기하 28번 · 벡터의 내적과 자취
좌표평면에 \overline{AB}=6, \overline{AD}=8인 직사각형 ABCD가 있다. 선분 CD 위의 한 점 P와 직사각형 ABCD 내부의 한 점 Q가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PQ}=|\overrightarrow{PQ}|^2
(나) 10\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AD}
(\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{QR})\cdot(\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{QR})=0을 만족시키는 점 R에 대하여 \overrightarrow{BR}\cdot\overrightarrow{QP}의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값은?
① \dfrac{226}{5} ② \dfrac{236}{5} ③ \dfrac{246}{5} ④ \dfrac{256}{5} ⑤ \dfrac{266}{5}
정답266/5 (⑤)
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①조건(나)로 Q를 고정 → 조건(가)로 P를 확정 → R의 자취는 원!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 조건 (나) 10\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AD}는 P와 무관하게 B,A,D만으로 Q의 위치를 완전히 고정한다.
원리② 조건 (가) \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PQ}=|\overrightarrow{PQ}|^2는 (\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PQ})\cdot\overrightarrow{PQ}=0, 즉 \overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QP}=0으로 정리되어 \angle AQP=\dfrac{\pi}{2}를 뜻한다.
마지막 R의 조건도 똑같은 구조 — 중점을 잡으면 R은 원 위의 점이 된다는 것을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 직사각형 ABCD(회색 테두리), 고정점 Q(분홍)·P(초록), 벡터 QP(초록 화살표), R이 도는 원(파란, 중심 Oc=(16/5,31/10)·반지름 ρ=√17/2) 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
11단계 — 좌표 설정과 Q 고정
직사각형을 \mathrm A(0,6),\mathrm B(0,0),\mathrm C(8,0),\mathrm D(8,6)로 놓으면 \overrightarrow{BA}=(0,6),\overrightarrow{AD}=(8,0)이므로 조건
(나)에서 \overrightarrow{BQ}=\dfrac{2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AD}}{10}=\left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right). 즉 \mathrm Q=\left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right)로 완전히 고정된다.
(나)에서 \overrightarrow{BQ}=\dfrac{2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AD}}{10}=\left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right). 즉 \mathrm Q=\left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right)로 완전히 고정된다.
22단계 — 조건(가)로 P 확정
\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PQ}=|\overrightarrow{PQ}|^2\Leftrightarrow\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QP}=0이므로 P는 Q를 지나고 \overrightarrow{QA}에 수직인 직선 위에 있다. \overrightarrow{QA}=\left(-\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5}\right)에 수직인 방향은 (2,1); 이 직선이 선분 CD(x=8)와 만나는 점은 \mathrm P=(8,4).
33단계 — R의 자취(원)를 구성
(\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{QR})\cdot(\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{QR})=0에서 \mathrm M=선분 AQ의 중점, \mathrm N=선분 PQ의 중점이라 하면 좌변은 4(\mathrm R-\mathrm M)\cdot(\mathrm R-\mathrm N)과 같다. 그러므로 R은 \overline{\mathrm{MN}}을 지름으로 하는 원 위의 점이다. \mathrm M=\left(\dfrac65,\dfrac{18}5\right),\ \mathrm N=\left(\dfrac{26}5,\dfrac{13}5\right)이므로 중심 \mathrm O_c=\left(\dfrac{16}5,\dfrac{31}{10}\right), 반지름 \rho=\dfrac{\sqrt{17}}2.
44단계 — BR·QP의 최대·최소
B가 원점이므로 \overrightarrow{BR}\cdot\overrightarrow{QP}=\mathrm R\cdot\overrightarrow{QP}(위치벡터의 내적)이다. \overrightarrow{QP}=\left(\dfrac{28}5,\dfrac{14}5\right)이고 R이 반지름 \rho인 원 위를 돌 때 \mathrm R\cdot\overrightarrow{QP}의 최댓값·최솟값은 \mathrm O_c\cdot\overrightarrow{QP}\pm\rho|\overrightarrow{QP}|이다.
55단계 — 정답
\mathrm O_c\cdot\overrightarrow{QP}=\dfrac{133}5,\ \rho|\overrightarrow{QP}|=\dfrac{7\sqrt{85}}5이므로 M+m=2\times\dfrac{133}5=\dfrac{266}{5}. 보기 ⑤와 일치한다.
접근법 ②좌표 원점을 B에 두는 순간, BR·QP는 그냥 위치벡터의 내적!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① B를 기준점(원점)으로 잡으면 \overrightarrow{BR}\cdot\overrightarrow{QP}=\mathrm R\cdot\overrightarrow{QP}로 즉시 단순화된다.
원리② 위치벡터가 원 위를 돌 때 고정 벡터와의 내적의 최댓값·최솟값의 합은 항상 '중심의 내적'의 두 배 — 반지름 항은 상쇄된다.
M+m을 구할 땐 반지름 항 \pm\rho|\overrightarrow{QP}|를 계산할 필요조차 없다'는 것을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1① B원점 트릭
\overrightarrow{BR}\cdot\overrightarrow{QP}=(\mathrm R-\mathrm B)\cdot\overrightarrow{QP}=\mathrm R\cdot\overrightarrow{QP}-\mathrm B\cdot\overrightarrow{QP}인데 B가 원점이면 \mathrm B\cdot\overrightarrow{QP}=0. 즉 \overrightarrow{BR}\cdot\overrightarrow{QP}=\mathrm R\cdot\overrightarrow{QP}.
2② M+m은 중심값의 두 배
\mathrm R=\mathrm O_c+\rho(\cos\varphi,\sin\varphi)이므로 \mathrm R\cdot\overrightarrow{QP}=\mathrm O_c\cdot\overrightarrow{QP}+\rho(\cos\varphi,\sin\varphi)\cdot\overrightarrow{QP}. 둘째 항은 \varphi에 따라 \pm\rho|\overrightarrow{QP}| 사이를 왕복하므로 M+m=2\,\mathrm O_c\cdot\overrightarrow{QP}로 반지름 항이 소거된다.
3③ 계산 → 정답
\mathrm O_c=\left(\dfrac{16}5,\dfrac{31}{10}\right),\ \overrightarrow{QP}=\left(\dfrac{28}5,\dfrac{14}5\right)이므로 \mathrm O_c\cdot\overrightarrow{QP}=\dfrac{448}{25}+\dfrac{434}{50}=\dfrac{133}5. \therefore M+m=\dfrac{266}5 (보기 ⑤).
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