2027 6월 모평 · 미적분 · 미분법(미분계수·합성함수의 미분)
분모가 0으로 가면, 분자도 0이어야 산다
문제2027학년도 6월 모의평가 · 미적분 28번 · 미분계수와 합성함수 미분
좌표평면에서 양수 t에 대하여 직선 y=t가 두 곡선
A:\,y=e^{2x}-e^{-x}+1, B:\,y=e^{2x}과 만나는 점을 각각 P (A 위), Q (B 위)라 하자.
점 P를 지나 x축에 수직인 직선이 B와 만나는 점의 y좌표를 f(t), 점 Q를 지나 x축에 수직인 직선이 A와 만나는 점의 y좌표를 g(t)라 할 때,
\lim_{t\to1}\dfrac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}
의 값은? [4점]정답5
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①유한 극한 ⟹ 분자 = 0, 답은 분자의 미분계수!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 분모 (t-1)\to0인데 극한이 유한이면 분자도 t=1에서 0이어야 한다 → 9f'(1)-4g'(1)=0.
원리② 그러면 극한은 분자의 미분계수 9f''(1)-4g''(1)이다(로피탈/정의).
w=e^x 치환으로 f,g의 닫힌식을 구한 뒤 1·2계 미분값을 계산하라'.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 곡선 A(분홍)·B(파란)·수평선 y=t(황색 점선) 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1g(t)는 깔끔하게 닫힌식
Q는 B 위: e^{2x}=t\Rightarrow e^{-x}=t^{-1/2}. 수직선이 A와 만나는 높이 g(t)=e^{2x}-e^{-x}+1=t-t^{-1/2}+1.
2f(t)는 w=e^x로
P는 A 위: w^2-w^{-1}+1=t 즉 w^3+(1-t)w-1=0, f(t)=w^2. t=1이면 w^3=1\Rightarrow w=1, f(1)=1,\, g(1)=1.
3g의 1·2계 미분
g'(t)=1+\tfrac12 t^{-3/2}\Rightarrow g'(1)=\tfrac32. g''(t)=-\tfrac34 t^{-5/2}\Rightarrow g''(1)=-\tfrac34.
4f의 1계: 분자 0 확인
(2w+w^{-2})w'=1\Rightarrow w'(1)=\tfrac13, f'(1)=2w\cdot w'=\tfrac23. 따라서 9f'(1)-4g'(1)=6-6=0 — 분자가 t=1에서 0.
5f의 2계 → 답
식을 한 번 더 미분: (2-2w^{-3})(w')^2+(2w+w^{-2})w''=0에 w=1,w'=\tfrac13 대입 → 0+3w''=0\Rightarrow w''(1)=0. f''(1)=2(w')^2+2w\cdot w''=\tfrac29. 그러므로 9f''(1)-4g''(1)=9\cdot\tfrac29-4\cdot(-\tfrac34)=2+3=5.
접근법 ②합성함수의 변화율 — 라이프니츠 표기로!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① f'(t)=\dfrac{df/dx}{dt/dx} — 매개변수 x만으로 도함수를 계산할 수 있다.
원리② 9f'(1)-4g'(1)=0을 확인한 뒤 몫의 미분으로 9f''(1)-4g''(1)을 구한다.
프라임 기호 대신 라이프니츠 표기로 매개변수 접근이 계산을 간결하게 한다'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1f'(t)를 x로
P에서 f=e^{2x}, t=e^{2x}-e^{-x}+1 → \dfrac{df}{dx}=2e^{2x}, \dfrac{dt}{dx}=2e^{2x}+e^{-x}. f'(t)=\dfrac{2e^{2x}}{2e^{2x}+e^{-x}}; x=0에서 \tfrac23.
2g'(t)도 같은 틀
Q에서 g=e^{2x}-e^{-x}+1, t=e^{2x} → g'(t)=\dfrac{2e^{2x}+e^{-x}}{2e^{2x}}; x=0에서 \tfrac32. (풀이 1과 일치)
3분자 0 → 한 번 더
9f'(1)-4g'(1)=0이므로 로피탈/미분계수 정의로 분자를 다시 미분하면 9f''(1)-4g''(1). 동일하게 =5.
4정답
두 풀이 모두 \displaystyle\lim_{t\to1}\dfrac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}=5.
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