패턴랩 (Pattern Lab)

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2027 6월 모평 · 미적분(선택) · 미분법(미분계수·합성함수의 미분) · 난이도 ★★★★☆

분모가 0으로 가면, 분자도 0이어야 산다

극한 \lim_{t\to1}\dfrac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}이 유한값이라는 사실 자체가 9f'(1)-4g'(1)=0을 강제합니다. 그래서 답은 분자를 한 번 더 미분한 값 9f''(1)-4g''(1).

문제

좌표평면에서 양수 t에 대하여 직선 y=t가 두 곡선 A:\,y=e^{2x}-e^{-x}+1, B:\,y=e^{2x} 과 만나는 점을 각각 P(A 위), Q(B 위)라 하자.

점 P를 지나 x축에 수직인 직선이 B와 만나는 점의 y좌표를 f(t), 점 Q를 지나 x축에 수직인 직선이 A와 만나는 점의 y좌표를 g(t)라 할 때,

\lim_{t\to1}\dfrac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1} 의 값은? [4점]

한 번에 이해하는 핵심

유한 극한 ⟹ 9f'(1)-4g'(1)=0, 답 =9f''(1)-4g''(1)

분모 (t-1)\to0인데 극한이 존재(유한)하려면 분자도 t=1에서 0이어야 합니다. 그러면 극한은 분자의 미분계수(로피탈/정의) =9f''(1)-4g''(1).
치환이 핵심: Q는 e^{2x}=t라 g(t)=t-t^{-1/2}+1 (깔끔!). f는 w=e^{x}로 두면 w^3+(1-t)w-1=0, f=w^2. t=1에서 w=1.
g'(1)=\tfrac32,\;g''(1)=-\tfrac34,  f'(1)=\tfrac23,\;f''(1)=\tfrac29 → 9\cdot\tfrac23-4\cdot\tfrac32=0 ✓,  9\cdot\tfrac29-4\cdot(-\tfrac34)=2+3=5.

정답  5

▶핵심을 눈으로 확인

슬라이더 t로 수평선 y=t를 올리면 교점 P(곡선 A)·Q(곡선 B)가 움직입니다. 각 점에서 내린 수직선이 반대 곡선과 만나는 높이가 f(t)·g(t). t=1로 스냅하면 분자 9f'-4g'\approx0을 수치미분으로 확인할 수 있습니다.

A:\,y=e^{2x}-e^{-x}+1 B:\,y=e^{2x} 수평선 y=t f(t),\,g(t) 높이

1풀이 1 — 미분계수 정의 + 공통 치환

두 곡선의 교점을 w=e^{x} 한 변수로 통일하면 도함수가 줄줄이 나옵니다.

g(t)는 깔끔하게 닫힌식
Q는 B 위: e^{2x}=t\Rightarrow e^{-x}=t^{-1/2}. 수직선이 A와 만나는 높이 g(t)=e^{2x}-e^{-x}+1=t-t^{-1/2}+1.
f(t)는 w=e^x로
P는 A 위: w^2-w^{-1}+1=t 즉 w^3+(1-t)w-1=0, f(t)=w^2. t=1이면 w^3=1\Rightarrow w=1, f(1)=1,\ g(1)=1.
g의 1·2계 미분
g'(t)=1+\tfrac12 t^{-3/2}\Rightarrow g'(1)=\tfrac32. g''(t)=-\tfrac34 t^{-5/2}\Rightarrow g''(1)=-\tfrac34.
f의 1계: 분자 0 확인
(2w+w^{-2})\,w'=1\Rightarrow w'(1)=\tfrac13, f'(1)=2w\,w'=\tfrac23. 따라서 9f'(1)-4g'(1)=6-6=0 — 분자가 t=1에서 0! (극한이 유한인 이유)
f의 2계 → 답
식을 한 번 더 미분: (2-2w^{-3})(w')^2+(2w+w^{-2})w''=0에 w=1,w'=\tfrac13 대입 → 0+3w''=0\Rightarrow w''(1)=0. f''(1)=2(w')^2+2w\,w''=\tfrac29. 그러므로 9f''(1)-4g''(1)=9\cdot\tfrac29-4\cdot(-\tfrac34)=2+3=\boxed{5}.

2풀이 2 — 합성함수의 변화율(라이프니츠 표기)

프라임 대신 \dfrac{df}{dt}=\dfrac{df/dx}{dt/dx}로 보면 매개변수 x만으로 계산됩니다.

f'(t)를 x로
P에서 f=e^{2x}, t=e^{2x}-e^{-x}+1 → \dfrac{df}{dx}=2e^{2x}, \dfrac{dt}{dx}=2e^{2x}+e^{-x}. 그러므로 f'(t)=\dfrac{2e^{2x}}{2e^{2x}+e^{-x}}; x=0에서 \tfrac23.
g'(t)도 같은 틀
Q에서 g=e^{2x}-e^{-x}+1, t=e^{2x} → g'(t)=\dfrac{2e^{2x}+e^{-x}}{2e^{2x}}; x=0에서 \tfrac32. (풀이 1과 일치)
분자 0 → 한 번 더
9f'(1)-4g'(1)=0이므로 로피탈/미분계수 정의로 분자를 다시 미분(몫의 미분)하면 9f''(1)-4g''(1). 동일하게 =5.
정답
두 풀이 모두 \lim_{t\to1}\dfrac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}=5.
검산 — 수치로 다시 확인

t=1: w=1,\ f(1)=1,\ g(1)=1. 수치미분으로 f'(1)\approx0.667,\ g'(1)\approx1.500\Rightarrow 9f'-4g'\approx0. 중심차분으로 \dfrac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}를 t=1\pm0.001에서 잡으면 \approx5.00. 위 인터랙션 HUD에서도 분자가 t\to1에서 0으로 수렴함을 볼 수 있습니다.

analysis_mock_test · 동적 풀이 · 2027 6월모평 미적분(선택) 28번 · 정답 5

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