2027 7월 학평 · 기하 · 공간도형(구·이면각) · 킬러KILLER
정사영이 선분 위에 있다 = 두 평면이 만나는 선이 곧 그 선분
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 기하 30번 · 구와 이면각 (킬러)
공간에 \overline{AB}=10\sqrt5인 선분 AB를 지름으로 하는 구 S가 있다. 구 S 위의 두 점 C, D에 대하여 네 점 A, B, C, D는 평면 \alpha 위에 있고, \overline{AD}=\overline{BC}=10이다. 구 S 위의 점 P가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 P의 평면 \alpha 위로의 정사영은 선분 BD 위에 있다.
(나) 평면 PAD와 평면 \alpha가 이루는 예각의 크기는 \dfrac{\pi}4이다.
평면 PAB와 평면 PBC가 이루는 예각의 크기를 \theta라 할 때, \cos^2\theta=\dfrac qp이다. p+q의 값을 구하시오. (단, \overline{CD}<\overline{AB}이고, p,q는 서로소인 자연수이다.)
정답p+q=52
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①삼수선의 정리로 각을 옮기고, 공통수선 MN으로 이면각을 평면각으로!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① AB가 구의 지름이므로 \angle ADB=\angle ACB=\dfrac\pi2(지름에 대한 원주각) — 평면 \alpha 안의 정보가 먼저 정리된다.
원리② 조건(가)로 P,D,H,B가 한 평면 위에 있음을 확인하고 삼수선의 정리를 쓰면 조건(나)의 각이 바로 \angle PDH=\dfrac\pi4로 옮겨져 \overline{PH}=\overline{DH}=\overline{BH}=10이 나온다.
평면 PAB, PBC의 공통수선 위의 두 점 M,N을 잡으면 이면각이 삼각형 CMN의 한 각으로 바뀐다'는 것을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 \overline{BD}=20을 지름으로 하는 단면원(파란), 점 D(왼쪽)·B(오른쪽)·H(P의 수선의 발), 원 위를 도는 점 P(황색) 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
11단계 — 평면 α 안의 등변사다리꼴
AB가 구 S의 지름이고 A,B가 평면 \alpha 위에 있으므로 \alpha는 구의 중심을 지나는 큰 원(반지름 5\sqrt5)을 이룬다. \angle ADB=\angle ACB=\dfrac\pi2(지름에 대한 원주각)이므로 \overline{BD}=\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{AD}^2}=20. \overline{AD}=\overline{BC}이므로 ABCD는 등변사다리꼴이고 \cos(\angle DAB)=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\dfrac{\sqrt5}5,\ \overline{CD}=\overline{AB}-2\overline{AD}\cos(\angle DAB)=6\sqrt5.
22단계 — 삼수선의 정리로 PH, DH 확정
P에서 \alpha에 내린 수선의 발을 H라 하면 조건(가)에 의해 P,D,H,B가 한 평면(=평면 PBD) 위에 있다. \overline{PH}\perp\alpha,\ \overline{BD}\perp\overline{AD}이므로 삼수선의 정리로 \overline{PD}\perp\overline{AD}, 즉 평면 PAD와 \alpha가 이루는 각은 \angle PDH. 조건
(나)에서 \angle PDH=\dfrac\pi4이고 구 S와 평면 PBD의 교선은 \overline{BD}를 지름으로 하는 원이므로, 직각이등변삼각형 관계로 \overline{DH}=\overline{PH}=\overline{BH}=10,\ \overline{PB}=10\sqrt2.
(나)에서 \angle PDH=\dfrac\pi4이고 구 S와 평면 PBD의 교선은 \overline{BD}를 지름으로 하는 원이므로, 직각이등변삼각형 관계로 \overline{DH}=\overline{PH}=\overline{BH}=10,\ \overline{PB}=10\sqrt2.
33단계 — CH, PC 계산
등변사다리꼴에서 \angle BDC=\angle ABD이므로 \cos(\angle HDC)=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}}=\dfrac{2\sqrt5}5. 삼각형 DHC에서 코사인법칙으로 \overline{CH}^2=\overline{DH}^2+\overline{DC}^2-2\cdot\overline{DH}\cdot\overline{DC}\cos(\angle HDC)=40,\ \overline{CH}=2\sqrt{10}. \overline{PH}\perp\alpha이므로 \overline{PC}=\sqrt{\overline{PH}^2+\overline{CH}^2}=2\sqrt{35}.
44단계 — 공통수선 M,N으로 이면각을 평면각으로
점 C에서 PB에 내린 수선의 발을 M, M을 지나 PB에 수직이며 AB와 만나는 점을 N이라 하면 평면 PAB, PBC가 이루는 각은 두 직선 MN, MC가 이루는 각과 같다. 삼각형 PBC에서 \overline{PC}^2-(\overline{PB}-\overline{MB})^2=\overline{BC}^2-\overline{MB}^2로 \overline{MB}=4\sqrt2,\ \overline{CM}=\sqrt{\overline{BC}^2-\overline{MB}^2}=2\sqrt{17}.
55단계 — N의 위치와 CN
P가 구 위의 점이므로 \angle APB=\dfrac\pi2. \triangle BPA\sim\triangle BMN(닮음비 5:2)이므로 \overline{NB}=\dfrac25\overline{AB}=4\sqrt5,\ \overline{AP}=\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{PB}^2}=10\sqrt3,\ \overline{NM}=\dfrac25\overline{AP}=4\sqrt3. \overline{AN}=\overline{AB}-\overline{NB}=6\sqrt5=\overline{CD}이므로 사각형 ANCD는 평행사변형, \overline{CN}=\overline{AD}=10.
66단계 — 삼각형 CMN에서 정답
\cos\theta=\cos(\angle NMC)=\dfrac{\overline{NM}^2+\overline{CM}^2-\overline{CN}^2}{2\cdot\overline{NM}\cdot\overline{CM}}=\dfrac{48+68-100}{2\times4\sqrt3\times2\sqrt{17}}=\dfrac{\sqrt{51}}{51}이므로 \cos^2\theta=\dfrac1{51}. p=51,q=1\Rightarrow p+q=52.
접근법 ②좌표를 앉히면 이면각은 두 평면의 법선벡터 내적 하나로 끝난다!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 등변사다리꼴 ABCD가 놓인 큰 원(반지름 5\sqrt5)을 좌표평면으로 삼고, \overline{PH}\perp\alpha,\ \overline{PH}=10임을 이용하면 A,B,C,D,P를 전부 좌표로 확정할 수 있다.
원리② 평면 PAB, PBC의 법선벡터를 외적으로 구해 \cos\theta=\left|\dfrac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1||\vec n_2|}\right|로 바로 계산하면 삼수선의 정리·닮음을 여러 번 쓰지 않아도 된다.
좌표는 식이 길더라도 실수 없이 검산할 수 있는 안전한 길이다'라는 것을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1① 좌표 배치
\alpha를 xy평면으로 놓고 큰 원의 중심을 원점에 두면 \mathrm A(-5\sqrt5,0,0),\ \mathrm B(5\sqrt5,0,0). 등변사다리꼴 조건 \overline{AD}=10에서 대칭으로 \mathrm D(-3\sqrt5,4\sqrt5,0),\ \mathrm C(3\sqrt5,4\sqrt5,0).
2② H, P 좌표
\overline{DH}=\overline{BH}=10이므로 H는 \overline{BD}의 중점 \mathrm H(\sqrt5,2\sqrt5,0)이고 \overline{PH}=10이 \alpha에 수직이므로 \mathrm P(\sqrt5,2\sqrt5,10). 실제로 |\mathrm{OP}|^2=5+20+100=125=(5\sqrt5)^2이므로 P가 구 위에 있음이 검산된다.
3③ 두 평면의 법선벡터
\vec n_1=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}=(0,-100\sqrt5,100)\parallel(0,-\sqrt5,1), \vec n_2=\overrightarrow{BP}\times\overrightarrow{BC}=(-40\sqrt5,-20\sqrt5,-60)\parallel(2\sqrt5,\sqrt5,3).
4④ 정답
\vec n_1\cdot\vec n_2=-5+3=-2,\ |\vec n_1|=\sqrt6,\ |\vec n_2|=\sqrt{34}이므로 \cos\theta=\left|\dfrac{-2}{\sqrt6\sqrt{34}}\right|=\dfrac1{\sqrt{51}}. \cos^2\theta=\dfrac1{51}\Rightarrow p=51,q=1\Rightarrow p+q=52.
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