2027 6월 모평 · 공통수학 · 적분법(수학Ⅱ)
적분이 '상쇄'될 때만 부등호가 산다
문제2027학년도 6월 모의평가 · 공통 15번 · 절댓값 정적분과 부호 변화
상수항이 0인 삼차함수 f(x)가 다음 두 조건을 만족시킬 때, f(6)의 값은? [4점]
(가) \int_{p}^{p+3}|f(x)|\,dx \ne \left|\int_{p}^{p+3} f(x)\,dx\right|이 성립하게 하는 모든 실수 p의 범위가 0<p<3이다.
(나) \int_{0}^{3}|f(x)+q|\,dx \ne \left|\int_{0}^{3}(f(x)+q)\,dx\right|이 성립하게 하는 모든 실수 q의 범위가 0<q<1이다.
정답f(6)=27
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①부호 변화로 번역 → 중근·계수 결정!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① \int_I|f| \ne |\int_I f| ⟺ 구간 I 안에서 f가 부호를 바꾼다.
원리② 부호변화점 x_0를 품는 창 [p,p+3]의 집합은 (x_0-3, x_0)(길이 3).
(가)의 p-집합이 (0,3)이라는 사실과 f(0)=0을 연결하라' — 두 조건이 f(x)=ax^2(x-3)을 강제하고, (나)가 a=\tfrac14를 못 박는다.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. p 슬라이더(범위 \(-1\sim3.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1부등호의 의미
\int_I|f|=|\int_I f| ⟺ f가 I에서 한쪽 부호. 따라서 \ne ⟺ 구간 (p,p+3) 안에서 부호 변화가 일어난다.
2(가) → 부호변화점은 x=3 하나
부호 바꾸는 근 x_0마다 창이 그 점을 품는 p의 집합은 (x_0-3, x_0). 이 합집합이 정확히 (0,3)이려면 부호변화점이 x_0=3 하나뿐.
3상수항 0 + 단일 부호변화 ⇒ x=0 중근
f(0)=0(상수항 0)이라 x=0도 근. x=0이 단순근이면 거기서도 부호가 바뀌어 p\in(-3,0)이 추가돼 모순. 따라서 x=0은 중근: f(x)=ax^2(x-3) (a>0).
4(나) → 크기 a 결정
(0,3)에서 f<0. 최솟값: f'(x)=a(3x^2-6x)=0\Rightarrow x=2, f(2)=-4a. f+q가 (0,3)에서 부호변화 ⟺ 0<q<4a. 이게 (0,1) ⇒ 4a=1, a=\tfrac14.
5정답
f(x)=\tfrac14 x^2(x-3). f(6)=\tfrac14(216-108)=\tfrac{108}{4}=27.
접근법 ②형태 가정 + 두 조건으로 미지수 못 박기!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① (가)의 p-집합이 길이 3짜리 단일 구간 ⟺ 실질적 부호변화점이 단 하나.
원리② 상수항 0은 x=0을 근으로 강제, 중근이어야만 모순 없이 단일 부호변화.
형태 f(x)=ax^2(x-3)을 먼저 잡고, (나)의 정적분으로 a를 검증·결정하라'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유. p·q 슬라이더로 조건 (가)(나)를 독립 검증.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
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단계별 상세 풀이
1형태 가정
상수항 0이라 f(x)=x(x^2+\beta x+\gamma) 꼴. (가)의 'p-집합이 단일 구간'은 실질적 부호변화점이 하나임을 뜻하므로, 나머지 두 근은 중근이거나 부호를 안 바꾸어야 한다.
2중근 위치를 p-구간으로
단일 부호변화점을 x=s라 하면 (s-3,s)=(0,3)\Rightarrow s=3. 부호 안 바꾸는 근은 x=0의 중근이 유일한 선택. ⇒ f(x)=ax^2(x-3).
3(나)로 a 결정
f의 (0,3) 최솟값 f(2)=-4a가 -1이 되도록 a=\tfrac14이면 f+q 부호변화 구간이 정확히 (0,1). ✓
4정답
a=\tfrac14로 f(6)=\tfrac14\cdot36\cdot3=27. 풀이 1과 일치.
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