2027 6월 모평 · 공통수학 · 적분법(수학Ⅱ) · 난이도 ★★★★☆
적분이 “상쇄”될 때만 부등호가 산다
\int|f|와 \left|\int f\right|가 달라지는 건 오직 f가 부호를 바꿀 때.
이 한 줄이 두 범위 조건을 삼차함수의 근 구조로 번역해 줍니다.
문제
상수항이 0인 삼차함수 f(x)가 다음 두 조건을 만족시킬 때, f(6)의 값은? [4점]
(가) \int_{p}^{p+3}\lvert f(x)\rvert\,dx \ne \left\lvert\int_{p}^{p+3} f(x)\,dx\right\rvert 이 성립하게 하는 모든 실수 p의 범위가 0 이다.
(나) \int_{0}^{3}\lvert f(x)+q\rvert\,dx \ne \left\lvert\int_{0}^{3}\bigl(f(x)+q\bigr)\,dx\right\rvert 이 성립하게 하는 모든 실수 q의 범위가 0 이다.
한 번에 이해하는 핵심
\int|f|\ne\left|\int f\right| ⟺ 구간 안에서 부호가 바뀐다
적분의 절댓값은 “양·음이 상쇄된 순값”, 절댓값의 적분은 “상쇄 없이 다 더한 값”.
둘이 다르다 ⟺ 구간 안에 양수부와 음수부가 공존(=부호 변화)입니다.
(가) 길이 3짜리 창이 부호 바뀌는 점을 품는 p의 집합 =(0,3)이려면, 부호변화는
오직 x=3에서 한 번. 상수항이 0이라 x=0도 근인데, 그게 부호를 안 바꾸려면
x=0은 중근 → f(x)=ax^2(x-3).
(나) f+q가 (0,3)에서 부호 변화하는 q가 (0,1) ⟺ (0,3) 최솟값 =-1 → a=\tfrac14.
정답 f(6)=27 (f(x)=\tfrac14x^2(x-3))
▶핵심을 눈으로 확인
p로 길이 3짜리 창 [p,p+3]을 움직이고, q로 곡선을 y방향으로 들어 올립니다.
창 안이 초록(양)·분홍(음)으로 둘 다 칠해질 때만 부등호 \ne가 성립(상쇄 발생).
y=f(x)+q
창 안 양수부
창 안 음수부
창 [p,p+3] 경계
1풀이 1 — 부호 변화로 번역 → 근 구조 확정
조건을 “부호 변화의 위치”로 바꾸면 미지의 삼차함수가 한 줄씩 결정됩니다.
부등호의 의미
\int_I|f|=\left|\int_I f\right| ⟺ f가 I에서 한쪽 부호. 따라서 \ne ⟺ I=(p,p+3) 안에서 부호 변화가 일어난다.
(가) → 부호변화점은 x=3 하나
부호 바꾸는 근 x_0마다 “I가 x_0를 품는 p”는 (x_0-3,\,x_0) (길이 3). 이 합집합이 정확히 (0,3)이려면 부호변화점이 x_0=3 하나뿐.
상수항 0 + 단일 부호변화 ⇒ x=0 중근
f(0)=0(상수항 0)이라 x=0도 근. 만약 x=0이 단순근이면 거기서도 부호가 바뀌어 p\in(-3,0)이 추가돼 모순. 따라서 x=0은 중근: f(x)=a\,x^2(x-3)\ (a>0).
(나) → 크기 a 결정
(0,3)에서 f<0(끝점만 0), 최솟값은 f'(x)=a(3x^2-6x)=0\Rightarrow x=2, f(2)=-4a. f+q가 (0,3)에서 부호변화 ⟺ 0. 이게 (0,1) ⇒ 4a=1, a=\tfrac14.
정답
f(x)=\tfrac14x^2(x-3)=\tfrac14(x^3-3x^2). f(6)=\tfrac14(216-108)=\tfrac14\cdot108=27.
2풀이 2 — 형태 가정 + 두 조건 직접 검증
“상수항 0 + 길이 3 단일 창”이라는 단서에서 형태를 먼저 잡고, 미지수 둘을 두 조건으로 못 박는 역방향.
형태 가정
상수항 0이라 f(x)=x(x^2+\beta x+\gamma) 꼴. (가)의 “부호변화 p-집합이 길이 3짜리 단일 구간”은 실질적 부호변화점이 단 하나임을 뜻하므로, 나머지 두 근은 (중근) 또는 (부호 안 바뀜)이어야 한다.
중근 위치를 p-구간으로
단일 부호변화점을 x=s라 하면 (가)의 집합 =(s-3,s)=(0,3)\Rightarrow s=3. 부호 안 바꾸는 근은 x=0의 중근이 유일한 선택(상수항 0과 양립). ⇒ f(x)=a\,x^2(x-3).
(나)로 a 검증·결정
\displaystyle\int_0^3 f\,dx=a\!\int_0^3(x^3-3x^2)dx=a\Bigl[\tfrac{x^4}4-x^3\Bigr]_0^3=a\bigl(\tfrac{81}4-27\bigr)=-\tfrac{27}4a. f의 (0,3) 최솟값 -4a가 -1이 되도록 a=\tfrac14이면 f+q 부호변화 구간이 정확히 (0,1). ✓
정답
a=\tfrac14로 f(6)=\tfrac14\cdot36\cdot3=27. 풀이 1과 일치.
검산 — 두 조건이 정말 재현되나?
f(x)=\tfrac14x^2(x-3): 부호변화는 x=3에서만(x=0은 중근). ⇒ (가)의 p-집합 =(0,3) ✓.
(0,3) 최솟값 f(2)=-1이라 f+q는 0에서만 부호변화 ⇒ (나) =(0,1) ✓.
수치 적분으로도 두 범위의 경계가 p\in\{0,3\},\,q\in\{0,1\}에서 정확히 등호로 전환됨을 확인.
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