패턴랩 (Pattern Lab)

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2027 6월 모평 · 기하(선택) · 평면벡터 · 난이도 ★★★★★ (킬러)

원 위를 도는 점의 내적 = “중심값 ± 반지름”

추상적인 벡터 내적은 좌표로 내려 곱·합으로 바꿉니다. 그리고 원 위 점의 내적은 중심에서의 내적에 ±|\overrightarrow{BC}|만 더해진다 — 이 한 줄이 최댓값 M·최솟값 m을 끝냅니다.

문제

\overline{AB}=\overline{AC}=2,\ \angle\mathrm{CAB}>\frac\pi2 인 이등변삼각형 \mathrm{A,B,C}와 선분 \mathrm{AB}의 수직이등분선 위의 점 \mathrm D가 \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD},\qquad 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB} 를 만족한다. \mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 위의 점 \mathrm X에 대하여 \overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}의 최댓값 M, 최솟값 m. |M\times m|=\dfrac qp 일 때 p+q를 구하시오. (p,q 서로소 자연수)

한 번에 이해하는 핵심

두 조건으로 \mathrm D,\mathrm C를 고정 → 원 위는 사영 한 번

대칭 좌표 A(-1,0),B(1,0),D(0,d),C(-1+2\cos\alpha,2\sin\alpha).
조건(1) → d\sin\alpha=1-\cos\alpha; 조건(2) → d^2=5,\ \cos\alpha=-\tfrac23,\ \sin\alpha=\tfrac{\sqrt5}{3}.
\mathrm{AB} 지름 원 = 중심 \mathrm O(원점)·반지름 1. \overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}=(\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}\pm|\overrightarrow{BC}| 이므로 Mm=(\mathrm D\cdot\overrightarrow{BC})^2-|\overrightarrow{BC}|^2=\tfrac{100}{9}-\tfrac{120}{9}=-\tfrac{20}{9}.

정답  p+q=29  (|M\times m|=\tfrac{20}{9},\ p=9,q=20)

▶핵심을 눈으로 확인

\varphi로 원 위의 점 \mathrm X=(\cos\varphi,\sin\varphi)를 돌려 보세요. \overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}가 최대 M\approx0.318 (\mathrm X-\mathrm O가 \overrightarrow{BC}와 같은 방향), 최소 m\approx-6.984 (반대 방향)일 때 win이 뜹니다.

삼각형 \mathrm{ABC} 원 (\mathrm{AB} 지름) 벡터 \overrightarrow{BC} 점 \mathrm X, 벡터 \overrightarrow{DX}

1풀이 1 — 좌표 + 삼각함수 합성 (정석)

추상 내적을 좌표로 내리고, 원 위 점은 (\cos\varphi,\sin\varphi)로 매개해 R\cos(\varphi-\psi)+k 꼴로 만듭니다.

1단계 — 대칭 좌표
A(-1,0),\ B(1,0),\ D(0,d),\ C(-1+2\cos\alpha,\ 2\sin\alpha) (\alpha=\angle\mathrm{CAB}).
2단계 — 조건 (1)
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}\Rightarrow d\sin\alpha=1-\cos\alpha.
3단계 — 조건 (2) → d,\alpha 확정
좌변 전개 4\cos\alpha+4d\sin\alpha에 (1)을 대입하면 좌변 =4: 4=-1+d^2\Rightarrow d^2=5,\ \cos\alpha=-\tfrac23,\ \sin\alpha=\tfrac{\sqrt5}{3}.
4단계 — 원 위 내적 합성
\mathrm{AB} 지름 원 = 중심 원점·반지름 1, X=(\cos\varphi,\sin\varphi): \overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}=\tfrac13(-10\cos\varphi+2\sqrt5\sin\varphi)-\tfrac{10}{3},\quad R=\sqrt{10^2+(2\sqrt5)^2}=2\sqrt{30}
5단계 — 정답
M=\tfrac{2\sqrt{30}-10}{3},\ m=\tfrac{-2\sqrt{30}-10}{3}\Rightarrow Mm=\dfrac{100-120}{9}=-\dfrac{20}{9}. |M\times m|=\tfrac{20}{9}\Rightarrow p=9,q=20,\ p+q=29.

2풀이 2 — 벡터 사영 (통찰)

삼각함수 합성·진폭 계산 없이, 사영 한 번으로 Mm이 바로 나옵니다.

중심값 ± 반지름방향 성분
\overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}=\underbrace{(\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}}_{\text{고정}}+\underbrace{(\mathrm X-\mathrm O)\cdot\overrightarrow{BC}}_{\in[-|\overrightarrow{BC}|,\,|\overrightarrow{BC}|]} \mathrm X-\mathrm O가 단위벡터라 M,m=(\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}\pm|\overrightarrow{BC}|.
Mm은 제곱의 차
Mm=\big((\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}\big)^2-|\overrightarrow{BC}|^2=(\mathrm D\cdot\overrightarrow{BC})^2-|\overrightarrow{BC}|^2
대입 → 정답
\overrightarrow{BC}=(-\tfrac{10}3,\tfrac{2\sqrt5}3) 이라 \mathrm D\cdot\overrightarrow{BC}=\tfrac{10}3, |\overrightarrow{BC}|^2=\tfrac{120}9: Mm=\tfrac{100}9-\tfrac{120}9=-\tfrac{20}9 → |M\times m|=\tfrac{20}9 → p+q=29.
검산 — 조건 (1)이 성립하나?

d=\sqrt5,\ d\sin\alpha=\sqrt5\cdot\tfrac{\sqrt5}{3}=\tfrac53=1-(-\tfrac23)=1-\cos\alpha ✓. \cos\alpha=-\tfrac23<0 이라 \angle\mathrm{CAB}>\frac\pi2 ✓. 인터랙티브에서 \mathrm X-\mathrm O가 \overrightarrow{BC} 방향(φ≈156°)일 때 M\approx0.318, 반대(φ≈336°)일 때 m\approx-6.984, 곱 \approx-2.222=-\tfrac{20}9 확인.

analysis_mock_test · 동적 풀이 · 2027 6월모평 기하 30번 · 정답 p+q=29

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