2027 6월 모평 · 기하 · 평면벡터 · 킬러KILLER
원 위를 도는 점의 내적 = '중심값 ± 반지름'
문제2027학년도 6월 모의평가 · 기하 30번 · 평면벡터 내적 최대·최소 (킬러)
\overline{AB}=\overline{AC}=2,\,\angle\mathrm{CAB}>\dfrac{\pi}{2}인 이등변삼각형 \mathrm{A,B,C}와 선분 \mathrm{AB}의 수직이등분선 위의 점 \mathrm{D}가
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD},\qquad 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}
를 만족한다. \mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 위의 점 \mathrm{X}에 대하여 \overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}의 최댓값 M, 최솟값 m. |M\times m|=\dfrac{q}{p}일 때 p+q를 구하시오. (p,q 서로소 자연수)
정답p+q=29
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①두 조건으로 D·C 고정 → 삼각함수 합성으로 M·m 계산!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 대칭 좌표 A(-1,0),B(1,0),D(0,d),C(-1+2\cos\alpha,2\sin\alpha)로 두면 두 벡터 조건이 d,\alpha에 대한 연립방정식이 된다.
원리② AB 지름 원 = 중심 O(원점)·반지름 1. X=(\cos\varphi,\sin\varphi)로 두면 내적이 R\cos(\varphi-\psi)+k 꼴 — 최댓값 k+R, 최솟값 k-R.
Mm=(k+R)(k-R)=k^2-R^2임을 연결하면 합성 없이도 Mm이 나온다'.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 삼각형 ABC(회색), AB 지름 원(파란), 벡터 BC(초록 화살표), 점 X(황색)·벡터 DX(황색 화살표) 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
11단계 — 대칭 좌표
A(-1,0),\,B(1,0),\,D(0,d),\,C(-1+2\cos\alpha,\,2\sin\alpha) (\alpha=\angle\mathrm{CAB}).
22단계 — 조건 (1)
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}\Rightarrow d\sin\alpha=1-\cos\alpha.
33단계 — 조건 (2) → d,\alpha 확정
좌변 전개 4\cos\alpha+4d\sin\alpha에 (1)을 대입하면 좌변 =4: 4=-1+d^2\Rightarrow d^2=5. 또 \cos\alpha=-\tfrac23,\,\sin\alpha=\tfrac{\sqrt5}{3}.
44단계 — 원 위 내적 합성
X=(\cos\varphi,\sin\varphi):
\overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}=\tfrac13(-10\cos\varphi+2\sqrt5\sin\varphi)-\tfrac{10}{3},\quad R=\sqrt{100+20}=2\sqrt{30}.
55단계 — 정답
M=\dfrac{2\sqrt{30}-10}{3},\,m=\dfrac{-2\sqrt{30}-10}{3}\Rightarrow Mm=\dfrac{100-120}{9}=-\dfrac{20}{9}. |M\times m|=\tfrac{20}{9}\Rightarrow p=9,q=20,\,p+q=29.
접근법 ②벡터 사영 — Mm이 제곱의 차로 한 줄!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① \overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}=(\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}+(\mathrm X-\mathrm O)\cdot\overrightarrow{BC}. 첫째 항은 고정, 둘째 항은 [-|\overrightarrow{BC}|,+|\overrightarrow{BC}|] 범위에서 움직인다.
원리② Mm=\big((\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}\big)^2-|\overrightarrow{BC}|^2 — 삼각함수 합성 없이 직접 계산.
사영의 제곱의 차 구조가 Mm을 즉시 준다'는 연결을 잡아라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1중심값 ± 반지름방향 성분
\overrightarrow{DX}\cdot\overrightarrow{BC}=\underbrace{(\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}}_{\text{고정}}+\underbrace{(\mathrm X-\mathrm O)\cdot\overrightarrow{BC}}_{\in[-|\overrightarrow{BC}|,\,|\overrightarrow{BC}|]}.
M,m=(\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}\pm|\overrightarrow{BC}|.
2Mm은 제곱의 차
Mm=\big((\mathrm O-\mathrm D)\cdot\overrightarrow{BC}\big)^2-|\overrightarrow{BC}|^2=(\mathrm D\cdot\overrightarrow{BC})^2-|\overrightarrow{BC}|^2.
3대입 → 정답
\overrightarrow{BC}=(-\tfrac{10}{3},\tfrac{2\sqrt5}{3})이라 \mathrm D\cdot\overrightarrow{BC}=\tfrac{10}{3} (D=(0,\sqrt5)), |\overrightarrow{BC}|^2=\tfrac{120}{9}:
Mm=\tfrac{100}{9}-\tfrac{120}{9}=-\tfrac{20}{9}\Rightarrow|M\times m|=\tfrac{20}{9}\Rightarrow p+q=29.
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