2027 7월 학평 · 미적분 · 음함수 미분과 그래프 추론 · 킬러KILLER
g(x)가 최댓값 0을 갖는 단 한 점이 k를 결정한다
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 미적분 30번 · 음함수 미분·그래프 추론(킬러)
a>0,\ b>0인 두 상수 a,\,b에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 x에 대하여 (f(x))^3+f(x)=\dfrac{a}{x^2+12}-bx-\dfrac{16}{3}b이다.
(나) 함수 f(x)의 역함수가 존재하고, f'(k)=0인 실수 k가 존재한다.
곡선 y=f(x)와 직선 y=-bx가 만나는 서로 다른 모든 점의 x좌표의 합이 k+8일 때, a\times b=\dfrac qp이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) [4점]
정답59
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①음함수를 미분해 g(x)를 만들면, 최댓값 0인 곳이 k
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① f가 역함수를 가지므로 f'의 부호는 전 구간 일정. 조건식을 미분해 x=0을 넣으면 f'(0)<0이 나와 f'(x)\le0이 전 구간에서 성립함을 알 수 있다.
원리② g(x):=-\dfrac{2ax}{(x^2+12)^2}-b라 하면 g(x)=\{3f(x)^2+1\}f'(x)\le0이고, 조건(나) f'(k)=0은 g(k)=0과 같으므로 k는 g가 최댓값 0을 갖는 유일한 점이다.
주어진 식을 직접 풀지 말고, 미분해서 부호가 일정한 보조함수 g(x)를 만들어 그래프 개형으로 k를 찾아라'.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스는 두 모드를 토글로 전환.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1f'≥0 또는 f'≤0, 부호 판별
f가 역함수를 가지므로 f'의 부호는 일정. (f(x))^3+f(x)=\dfrac{a}{x^2+12}-bx-\dfrac{16}{3}b의 양변을 x로 미분하면 \{3f(x)^2+1\}f'(x)=-\dfrac{2ax}{(x^2+12)^2}-b. x=0을 대입하면 \{3f(0)^2+1\}f'(0)=-b<0이므로 모든 x에서 f'(x)\le0.
2g(x)=우변, 최댓값 0
g(x):=-\dfrac{2ax}{(x^2+12)^2}-b라 하면 g(x)=\{3f(x)^2+1\}f'(x)\le0(모든 x). 조건
(나)의 f'(k)=0에서 g(k)=\{3f(k)^2+1\}f'(k)=0이므로 g는 x=k에서 최댓값 0을 갖는다.
(나)의 f'(k)=0에서 g(k)=\{3f(k)^2+1\}f'(k)=0이므로 g는 x=k에서 최댓값 0을 갖는다.
3g'(x)로 k=-2 확정
g'(x)=\dfrac{6a(x+2)(x-2)}{(x^2+12)^3}이므로 g는 x=-2에서 극대, x=2에서 극소, x\to\pm\infty에서 -b로 수렴. 최댓값이 되는 곳은 x=-2뿐이므로 k=-2.
4f'(-2)=0 → a=64b
g(-2)=\dfrac{a}{64}-b=0에서 a=64b.
5교점 방정식 정리
f(t)=-bt인 t를 (가)에 대입하면 (-bt)^3-bt=\dfrac{64b}{t^2+12}-bt-\dfrac{16}{3}b이고, 양변에서 -bt를 지우고 정리하면 t^2\Bigl\{3b^2t^3+36b^2t-16\Bigr\}=0. t=0은 항상 근.
6h(t)는 항상 증가 → 실근 1개
h(t)=3b^2t^3+36b^2t-16이라 하면 h'(t)=9b^2t^2+36b^2>0이므로 h는 실수 전체에서 증가하고 실근은 1개, t=t_1\ (t_1\ne0). 교점 x좌표의 합은 0+t_1=k+8=6이므로 t_1=6.
7b², a×b, 정답
h(6)=648b^2+216b^2-16=0에서 b^2=\dfrac1{54}. a\times b=64b\times b=64b^2=\dfrac{64}{54}=\dfrac{32}{27}이므로 p=27,\,q=32\Rightarrow p+q=\boxed{59}.
접근법 ②t=0, t=6을 알면 — x=6 직접 대입으로 b²을 한 방에
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① k=-2,\ a=64b까지는 풀이 1과 동일하게 필요(음함수 미분·그래프 개형은 피할 수 없다). 단, h(t)=3b^2t^3+36b^2t-16이 h'(t)>0으로 항상 증가함만 확인해 't=0 외의 교점은 많아야 하나'만 확보하면, 그 값은 굳이 h(t)=0을 풀지 않아도 교점 좌표합 조건에서 t_1=6으로 바로 나온다.
원리② t=6을 알고 나면 h(t)를 전개할 필요 없이, f(6)=-6b를 원래 조건식 (가)에 직접 대입해 한 번에 b^2을 얻는다 — 삼차식 전개·인수분해를 건너뛰는 지름길.
다항식을 전개해 계수비교하지 말고, 알고 있는 근을 원래 식에 바로 꽂아 넣어라'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1f'≤0 전 구간, g(x)≤0
조건식을 미분해 x=0을 대입하면 f'(0)<0이므로 f'(x)\le0(전 구간). g(x):=-\dfrac{2ax}{(x^2+12)^2}-b=\{3f(x)^2+1\}f'(x)\le0.
2g의 개형으로 k=-2, a=64b 확정
g'(x)=\dfrac{6a(x+2)(x-2)}{(x^2+12)^3}에서 g는 x=-2에서만 최댓값 0을 가지므로 k=-2. g(-2)=\dfrac{a}{64}-b=0에서 a=64b.
3t=0은 항상 교점, 합 조건으로 t₁=6
x=0에서 (가)의 우변은 \dfrac{64b}{12}-\dfrac{16}{3}b=0이므로 f(0)=0=-b\cdot0, 즉 x=0은 항상 교점. f(t)=-bt를 대입해 정리하면 t^2\{3b^2t^3+36b^2t-16\}=0 꼴이 되고, h(t)=3b^2t^3+36b^2t-16은 h'(t)=9b^2t^2+36b^2>0으로 항상 증가하므로 t=0 외의 교점은 많아야 하나. 교점 x좌표 합이 k+8=6이므로 그 유일한 나머지 교점은 t_1=6.
4x=6 직접 대입으로 b² 한 방에
f(6)=-6b를 (가)에 바로 대입(다항식 전개 없이): (-6b)^3+(-6b)=\dfrac{64b}{48}-6b-\dfrac{16}{3}b. 정리하면 -216b^3-6b=-10b\Rightarrow216b^3=4b\Rightarrow b^2=\dfrac1{54}.
5정답
a\times b=64b^2=\dfrac{64}{54}=\dfrac{32}{27}=\dfrac qp\Rightarrow p=27,\,q=32\Rightarrow p+q=\boxed{59}. 풀이 1과 일치.
KEYWORDS2027 7월 학평7월 학평 수학7모7월 모의고사고3 7월 학평2027학년도 7월 전국연합7월 학평 수학 분석모의고사 수학 해설7월 학평 30번미적분 30번7모 30번전국연합학력평가교육청 모의고사수능 수학
PATTERN LAB · 2027 7월 학평 미적분 30번 · 인터랙티브 학습형 풀이
Comments
Comments (0)
Leave a Comment