2027 6월 모평 · 기하 · 이차곡선(타원)
초점을 지나는 현, '역수의 합'은 변하지 않는다
문제2027학년도 6월 모의평가 · 기하 28번 · 타원 초점현
타원 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1의 두 초점 \mathrm{F}(c,0), \mathrm{F}'(-c,0)\,(c>0). 제1사분면의 점 \mathrm{P}, 제4사분면의 점 \mathrm{Q}는 타원 위의 점이고 \mathrm{F}는 선분 \mathrm{PQ} 위에 있다(초점을 지나는 현).
\overline{PF}:\overline{QF}=1:2, \overline{PF}:\overline{FF'}=\sqrt{6}:16, \triangle\mathrm{FF'Q}의 넓이 =4\sqrt{5}일 때, b^2의 값을 구하시오.
정답b²=8
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①정의 + 코사인법칙 → 각 소거 → 모양·크기 2단 확정!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 타원의 정의로 \overline{PF'},\overline{QF'}를 2a로 바꾸고 코사인법칙을 두 삼각형에 적용하면 \dfrac{b^2}{\overline{PF}}=a-c\cos\theta, \dfrac{b^2}{\overline{QF}}=a+c\cos\theta가 나온다.
원리② 두 식을 더하면 각 \theta가 사라져 불변량 b^2\!\left(\dfrac{1}{\overline{PF}}+\dfrac{1}{\overline{QF}}\right)=2a가 나온다 — 이것이 모양을 확정하는 핵심.
비율로 모양을 정한 뒤 넓이로 크기를 정하라'는 2단 전략을 연결하라.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 타원 \frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{8}=1, 초점 F(4,0)\cdot F'(-4,0)(황색), 현(회색 선분), 교점 P(초록)·Q(분홍) 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
11단계 — 모든 길이를 c로
기준을 \overline{FF'}=2c로 잡으면 \overline{PF}=\frac{\sqrt6}{16}\cdot2c=\frac{\sqrt6}{8}c, \overline{QF}=2\overline{PF}=\frac{\sqrt6}{4}c. 두 초점거리가 모두 c 하나로 표현된다.
22단계 — 정의로 치환 후 코사인법칙
정의로 \overline{PF'}=2a-\overline{PF},\,\overline{QF'}=2a-\overline{QF}. \angle\mathrm{PFF'}=\theta,\,\angle\mathrm{QFF'}=\pi-\theta. 두 삼각형에 코사인법칙:
\frac{b^2}{\overline{PF}}=a-c\cos\theta,\qquad \frac{b^2}{\overline{QF}}=a+c\cos\theta.
33단계 — 합산으로 \cos\theta 소거
b^2\!\left(\dfrac{1}{\overline{PF}}+\dfrac{1}{\overline{QF}}\right)=2a. 1단계 값 대입: \dfrac{1}{\overline{PF}}+\dfrac{1}{\overline{QF}}=\dfrac{12}{\sqrt6 c}이므로 b^2=\dfrac{ac}{\sqrt6} (★).
44단계 — 모양 확정
(★)와 b^2=a^2-c^2을 같다고 놓고 t=\dfrac{c}{a}로 두면 \sqrt6 t^2+t-\sqrt6=0\Rightarrow t=\dfrac{2}{\sqrt6}. c^2=\tfrac23a^2,\,b^2=\tfrac{c^2}{2}.
55단계 — 넓이로 크기 확정 → 정답
x_Q=\tfrac34c, y_Q^2=\overline{QF}^2-(x_Q-c)^2=\tfrac{5}{16}c^2. \triangle\mathrm{FF'Q}=c|y_Q|=\tfrac{\sqrt5}{4}c^2=4\sqrt5\Rightarrow c^2=16. \therefore b^2=\tfrac{c^2}{2}=8.
접근법 ②비율은 방향, 한 변은 모양, 넓이는 크기!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 비율 \overline{PF}:\overline{QF}=1:2만으로는 길이 없이 현의 방향(각 \theta)이 정해진다.
원리② 현의 방향이 정해지면 둘째 비율이 모양(b^2/a^2)을 주고, 넓이가 크기(c^2)를 준다.
분리해서 풀면 각 단계가 독립적 — 전체 구조를 먼저 파악하라'.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1① 비율 1:2 → 현의 방향
\dfrac{\overline{PF}}{\overline{QF}}=\dfrac{a+c\cos\theta}{a-c\cos\theta}=\dfrac12\Rightarrow c\cos\theta=-\dfrac{a}{3}. 길이 없이 비율만으로 현의 기울기 \theta가 정해진다.
2② 둘째 비율 → 모양
\overline{PF}=\dfrac{b^2}{a-c\cos\theta}=\dfrac{3b^2}{4a}인데 \overline{PF}=\dfrac{\sqrt6}{8}c → b^2=\dfrac{ac}{\sqrt6}, b^2=a^2-c^2과 합쳐 c^2=\tfrac23a^2,\,b^2=\tfrac{c^2}{2}.
3③ 넓이 → 크기 (가장 예쁜 통찰)
\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt6},\,\sin\theta=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt6}이므로
\therefore b^2=\dfrac{c^2}{2}=8.
\triangle\mathrm{FF'Q}=\overline{QF}\cdot c\sin\theta=\dfrac{\sqrt6}{4}c\cdot c\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt5}{4}c^2=4\sqrt5\Rightarrow c^2=16.
\therefore b^2=\dfrac{c^2}{2}=8.
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