PATTERN LAB · 모의고사 분석
2027 6월 모평 미적분 28·29·30번 — 단계별 상세 풀이 (미적분 선택)
2027학년도 6월 모의평가 · 수학 미적분(선택) · 변별 3문항 완전 상세 풀이
2027학년도 6월 모의평가 미적분(선택)의 변별 문항 28·29·30번을, 각각 서로 다른 두 가지 풀이법으로 — 이번에는 식 전개 한 줄까지 빠짐없이 단계별로 정리했습니다. 핵심 한 장 이미지와 함께 보면 시험장에서 어떤 전략을 먼저 떠올릴지 감각이 잡힙니다.
01
SOLUTIONS
미적분 28·29·30번, 단계별로 끝까지
각 문항의 문제·정답·핵심 아이디어를 먼저 보고, 접근법 ①·②의 단계별 상세 풀이로 전개를 한 줄씩 따라가세요.
28번 · 미분법 — 미분계수·변화율
난이도 상
문제
좌표평면에서 양수 t에 대하여 직선 y=t가 두 곡선 A:\ y=e^{2x}-e^{-x}+1, B:\ y=e^{2x} 과 만나는 점을 각각 P(곡선 A 위), Q(곡선 B 위)라 하자. 점 P를 지나 x축에 수직인 직선이 B와 만나는 점의 y좌표를 f(t), 점 Q를 지나 x축에 수직인 직선이 A와 만나는 점의 y좌표를 g(t)라 할 때, \displaystyle\lim_{t\to1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1} 의 값은?
정답5 (③)
핵심 아이디어
분모가 (t-1)이고 극한이 유한하면 분자는 t=1에서 반드시 0 — 즉 \tfrac{0}{0} 부정형이라 극한값은 분자를 한 번 더 미분한 값입니다. 계수 9·4가 1계 분자를 정확히 0으로 만들도록 설계됐으므로, 답은 2계도함수 조합 9f''(1)-4g''(1)에 있습니다.
접근법 ① 미분계수의 정의 + 공통 치환
점 Q는 명시적으로, 점 P는 음함수로 두고 1계·2계 도함수를 차례로 구합니다. 1계에서 분자가 0임을 확인한 뒤 2계로 넘어갑니다.
단계별 상세 풀이
1Q에서 g(t) 세우기
Q는 B:\ y=e^{2x} 위의 y=t 점 → e^{2x_Q}=t, 즉 x_Q=\tfrac12\ln t. 이 x_Q에서 곡선 A의 높이가 g(t)이고, e^{-x_Q}=t^{-1/2}이므로
g(t)=e^{2x_Q}-e^{-x_Q}+1=t-t^{-1/2}+1.
2P에서 f(t) 음함수로 세우기
P는 A 위의 y=t 점. f=e^{2x_P}로 놓으면 e^{-x_P}=f^{-1/2}이고 P가 A 위에 있으므로
t=f-f^{-1/2}+1\quad(\text{음함수}).
3t=1에서 값
g(1)=1-1+1=1. 또 f-f^{-1/2}=0\Rightarrow f^{3/2}=1\Rightarrow f(1)=1.
41계도함수
g'(t)=1+\tfrac12 t^{-3/2}\Rightarrow g'(1)=\tfrac32. 음함수 t=f-f^{-1/2}+1을 t로 미분하면 1=f'\!\left(1+\tfrac12 f^{-3/2}\right), f=1 대입 → f'(1)=\dfrac{1}{1+\frac12}=\dfrac23.
51계 분자 = 0 확인
9f'(1)-4g'(1)=9\cdot\tfrac23-4\cdot\tfrac32=6-6=0.
분자가 0 → \tfrac00 부정형이므로 극한값은 분자의 도함수, 즉 9f''(1)-4g''(1).62계도함수
g''(t)=-\tfrac34 t^{-5/2}\Rightarrow g''(1)=-\tfrac34. 1=f'(1+\tfrac12 f^{-3/2})를 한 번 더 미분하면 0=f''(1+\tfrac12 f^{-3/2})-\tfrac34 f^{-5/2}(f')^2. f=1,\ f'=\tfrac23 대입 → \tfrac32 f''=\tfrac13\Rightarrow f''(1)=\tfrac29.
7결론
\lim_{t\to1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}=9f''(1)-4g''(1)=9\cdot\tfrac29-4\cdot\!\left(-\tfrac34\right)=2+3=5.
접근법 ② 역함수 미분 (라이프니츠 표기)
음함수를 풀지 않고 t를 f의 함수로 보는 시선입니다. \dfrac{dt}{df}를 먼저 구하고 뒤집어 f',f''를 얻습니다.
단계별 상세 풀이
1\tfrac{dt}{df} 계산
t=f-f^{-1/2}+1에서 \dfrac{dt}{df}=1+\tfrac12 f^{-3/2}. f=1일 때 \dfrac{dt}{df}=\tfrac32.
2뒤집어 f'(1)
f'(t)=\frac{df}{dt}=\frac{1}{\,dt/df\,}=\frac{1}{1+\frac12 f^{-3/2}}\ \Rightarrow\ f'(1)=\frac{1}{3/2}=\frac23.
3f''(1) (몫·연쇄법칙)
f'=\left(1+\tfrac12 f^{-3/2}\right)^{-1}을 t로 미분하면 f''=-\left(1+\tfrac12 f^{-3/2}\right)^{-2}\!\cdot\!\left(-\tfrac34 f^{-5/2}\right)f'. f=1,\ f'=\tfrac23 대입 → f''(1)=\left(\tfrac23\right)^2\!\cdot\tfrac34\cdot\tfrac23=\tfrac29.
4같은 결론
g는 명시식이라 g'(1)=\tfrac32,\ g''(1)=-\tfrac34 그대로. 따라서 9f''(1)-4g''(1)=2+3=5 — 접근법 ①과 동일.
29번 · 수열의 극한 — 등비급수·정수 등차·코사인
난이도 상
문제
모든 항이 정수인 등차수열 \{a_n\}과 모든 항이 양수인 등비수열 \{b_n\}이 (가) a_1=b_1,\ a_4=b_2 (나) 어떤 자연수 k에 대하여 a_k=b_3 를 만족시킨다. 급수 \sum_{n=1}^{\infty} b_n이 수렴할 때, \left|\sum_{n=1}^{\infty} b_n\cos(a_n\pi)\right|의 최솟값을 m이라 하자. 10\times m의 값을 구하시오.
정답10m=54 (m=\tfrac{27}{5})
핵심 아이디어
a_n이 정수라 \cos(a_n\pi)=(-1)^{a_n} — 코사인은 부호 스위치일 뿐입니다. 부호 패턴은 공차 d의 홀짝이 정하고, 교대(1+r) 쪽 분모가 더 커서 최솟값이 거기서 나옵니다.
접근법 ① 공차 홀짝 경우 분류
수렴 조건과 정수 조건으로 후보를 좁히고, 부호가 교대되는 홀수 공차에서 최솟값을 찾습니다.
단계별 상세 풀이
1코사인을 부호로
a_n이 정수 → \cos(a_n\pi)=(-1)^{a_n}. A=a_1=b_1>0, 공차 d(정수), 공비 r>0로 두면 (-1)^{a_n}=(-1)^{A}\,(-1)^{(n-1)d}.
2등비급수로 합치기
\sum_{n=1}^{\infty} b_n(-1)^{a_n}=A(-1)^{A}\sum_{n=1}^{\infty}\big(r(-1)^{d}\big)^{n-1}=\frac{A(-1)^{A}}{1-(-1)^{d}r}.
3공차 홀짝 비교
d 짝수 → |\,\cdot\,|=\dfrac{A}{1-r}, d 홀수 → \dfrac{A}{1+r}. 0<r<1이라 1+r>1-r → 홀수 공차에서 최소.
4조건으로 d 식 세우기
a_4=b_2 → r=\dfrac{A+3d}{A}, 수렴 0<r<1\Rightarrow -\tfrac{A}{3}<d<0. a_k=b_3=Ar^2에 대입·정리하면
(k-7)A=9d\ \Rightarrow\ d=\frac{(k-7)A}{9}.
5최솟값 식 정리
홀수 공차에서 1+r=\dfrac{2A+3d}{A}이므로
\left|\sum\right|=\frac{A}{1+r}=\frac{A^2}{2A+3d}=\frac{3A}{k-1}.
→ k는 크게, A는 작게 할수록 최소. d<0\Rightarrow k<7이라 k=6이 최선.6k=6 최소해
d=\dfrac{(6-7)A}{9}=-\dfrac{A}{9}가 홀수 정수 → A=9,\ d=-1. 검산: r=\tfrac{9-3}{9}=\tfrac23\in(0,1), a_4=6=b_2, b_3=4=a_6 ✓.
7결론
m=\frac{3\cdot 9}{6-1}=\frac{27}{5}\ \Rightarrow\ 10m=54.
접근법 ② 부호를 공비에 흡수
경우를 나누지 않고 (-1)^{d}을 공비 안으로 넣어 단일 등비급수로 봅니다.
단계별 상세 풀이
1새 공비 R=(-1)^d r
\sum b_n(-1)^{a_n}=A(-1)^A\sum R^{n-1}=\dfrac{A(-1)^A}{1-R}, |R|=r<1이라 항상 수렴. \left|\sum\right|=\dfrac{A}{|1-R|}.
2분모 최대화가 곧 최소
R=+r(짝수 공차)이면 |1-R|=1-r, R=-r(홀수 공차)이면 |1-R|=1+r. 분모가 큰 R=-r에서 값이 최소.
3동일한 답
이후 r=\tfrac{A+3d}{A}, (k-7)A=9d를 그대로 써서 \left|\sum\right|=\tfrac{3A}{k-1}, k=6,A=9,d=-1 → 10m=54.
KILLER · 30번
30번 · 미분법 — 세제곱근 합성함수 미분가능
난이도 최상
문제
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대하여 g(x)=\sqrt[3]{x\{f(x)\}^2} 이다. g(x)가 실수 전체에서 미분가능하고 x=\tfrac{19}{7}와 x=3에서 극값을 가질 때, f(5)의 값을 구하시오.
정답f(5)=20
핵심 아이디어
세제곱근은 안의 식이 0이 되는 점에서만 미분가능성이 깨집니다. 그 점에서 안의 식이 완전세제곱(=3의 배수 중복도) 꼴이어야 매끄러우므로, f의 근 구조가 강제로 확정됩니다.
접근법 ① 근 구조 확정 + 근과 계수
미분가능 조건으로 f의 근을 강제한 뒤, 극값 방정식에 근과 계수를 적용합니다.
단계별 상세 풀이
1미분 불가능 지점
h(x)=x\{f(x)\}^2라 하면 g=\sqrt[3]{h}. h의 실근에서 중복도가 3의 배수가 아니면 첨점·수직접선이 생겨 미분 불가능.
2f의 실근 제한
f=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)이면 h=x\,(x-r_1)^2(x-r_2)^2(x-r_3)^2. 0이 아닌 실근에서는 중복도 2 → 첨점. 따라서 f의 실근은 0뿐이어야 함.
3x=0 중복도 맞추기
x=0에서 h의 중복도 =1+2\times(\text{0이 }f\text{의 근인 횟수}). 3의 배수가 되려면 0이 단순근 → f(x)=x(x^2+px+q), 나머지 두 근은 허근 (p^2-4q<0).
4g 간단형
h=x\cdot x^2(x^2+px+q)^2=x^3(x^2+px+q)^2 →
g(x)=x\,(x^2+px+q)^{2/3}.
5극값 방정식
m=x^2+px+q라 두면 g'=m^{-1/3}\!\left[m+\tfrac{2x}{3}(2x+p)\right]. m>0(허근)이라 g'=0\iff
3(x^2+px+q)+2x(2x+p)=0\ \Rightarrow\ 7x^2+5px+3q=0.
6근과 계수 (\tfrac{19}{7},\,3)
두 극점이 근이므로 합 \tfrac{19}{7}+3=\tfrac{40}{7}=-\tfrac{5p}{7}\Rightarrow p=-8, 곱 \tfrac{19}{7}\cdot3=\tfrac{57}{7}=\tfrac{3q}{7}\Rightarrow q=19. 판별식 64-76=-12<0 ✓.
7결론
f(x)=x(x^2-8x+19)\ \Rightarrow\ f(5)=5(25-40+19)=5\cdot4=20.
접근법 ② 로그미분
곱·세제곱근은 로그미분이 깔끔합니다. 같은 극값 방정식이 자연스럽게 나옵니다.
단계별 상세 풀이
1로그 취하고 미분
\ln g=\tfrac13(\ln x+2\ln f) → \dfrac{g'}{g}=\tfrac13\!\left(\dfrac1x+\dfrac{2f'}{f}\right).
2극점 조건
g'=0\iff \dfrac1x+\dfrac{2f'}{f}=0\iff f+2xf'=0 (단 x\neq0).
3같은 방정식
f=x(x^2+px+q) 대입 → f+2xf'=x\,(7x^2+5px+3q). 따라서 극점은 7x^2+5px+3q=0 — 접근법 ①과 동일. p=-8,\,q=19,\ f(5)=20.
02
CONCLUSION
여러 풀이법, 왜 함께 봐야 할까?
한 문제, 두 시선 — 28·29·30번 모두 서로 다른 두 풀이가 같은 답으로 수렴합니다. 정의·음함수 기반 풀이와 역함수·구조 기반 풀이를 함께 익히면 시험장에서 선택지가 넓어집니다.
미적분 선택의 핵심은 계산 전에 구조를 읽는 힘 — 28번은 “분자가 0이면 2계도함수”, 29번은 “정수 코사인은 부호 스위치”, 30번은 “세제곱근 매끄러움은 완전세제곱”. 구조를 먼저 보면 계산이 짧아집니다.
30번 킬러는 미분가능성이 근의 중복도를 강제한다는 점이 열쇠입니다. 근 구조를 확정하면 나머지는 근과 계수의 단순 계산입니다.
03
FAQ
자주 묻는 질문 (FAQ)
Q1. 2027학년도 6월 모의평가 미적분 28·29·30번은 어떤 문제였나요?
A. 선택과목 미적분의 변별 문항입니다. 28번은 두 지수곡선과 미분계수·변화율, 29번은 등비급수와 정수 등차·코사인, 30번은 세제곱근 합성함수의 미분가능성(킬러) 문제입니다.
Q2. 각 문제의 정답은 무엇인가요?
A. 28번은 5(③), 29번은 10m=54 (m=27/5), 30번은 f(5)=20입니다.
Q3. 28번 극한은 왜 2계도함수가 답이 되나요?
A. 분모가 (t−1)이고 극한이 유한하면 분자는 t=1에서 0이어야 합니다. 즉 0/0 부정형이므로 극한값은 분자를 한 번 더 미분한 값, 9f''(1)−4g''(1)이 됩니다.
Q4. 30번 세제곱근 문제의 핵심은 무엇인가요?
A. 세제곱근은 안의 식이 0이 되는 점에서만 미분가능성이 깨집니다. 그 점에서 중복도가 3의 배수(완전세제곱)여야 매끄럽고, 이 조건이 삼차함수의 근 구조를 0의 단순근 + 허근 두 개로 확정합니다.
Q5. 왜 한 문제를 두 가지 방법으로 푸나요?
A. 같은 답에 이르는 서로 다른 시선을 보면 개념의 연결이 깊어지고, 막혔을 때 대안 전략을 떠올리기 쉬워집니다. 28·29·30번 모두 두 풀이가 동일한 답으로 수렴합니다.
PATTERN LAB · 2027학년도 6월 모의평가 미적분(선택) · 단계별 상세 풀이
Comments
Comments (0)
Leave a Comment