KMEDU 모의고사 분석

2027 6월 모평 미적분 28·29·30번 — 여러 가지 풀이법 총정리 (미적분 선택)

2027학년도 6월 모의평가 · 수학 미적분(선택) · 중계동 KMEdu수학학원

2027학년도 6월 모의평가 미적분(선택)의 변별 문항 28·29·30번을, 각각 서로 다른 두 가지 풀이법으로 정리했습니다. 문항마다 핵심 한 장과 단계별 해설 영상을 함께 담아, 어떤 전략을 먼저 떠올릴지 감각을 키울 수 있습니다.

OVERVIEW

미적분 28·29·30번, 무엇을 어떻게 푸나?

미적분 선택의 변별은 계산 전에 구조를 읽는 힘에서 갈립니다. 아래 세 문항은 모두 두 가지 전략이 같은 답으로 수렴합니다.

문항

단원

정답

풀이 전략 (2가지)

28번

미분법 — 미분계수·변화율

미분계수 정의 · 합성함수 변화율

29번

수열의 극한 — 등비급수

공차 홀짝 분류 · 부호 공비 흡수

30번

세제곱근 미분가능 (킬러)

근 구조 확정 · 로그미분

SOLUTIONS

문항별 여러 가지 풀이법

각 문항의 문제·정답·핵심 아이디어를 먼저 보고, 접근법 ①·②의 핵심 한 장과 해설 영상으로 전개를 확인하세요.

28번 · 미적분 · 미분법 — 미분계수·변화율

난이도 상

문제

좌표평면에서 양수

t

에 대하여 직선

y = t

가 두 곡선

A : y = e^{2 x} - e^{- x} + 1

B : y = e^{2 x}

과 만나는 점을 각각 P(

A

위), Q(

B

위)라 하자. 점 P를 지나

x

축에 수직인 직선이

B

와 만나는 점의

y

좌표를

f (t)

, 점 Q를 지나

x

축에 수직인 직선이

A

와 만나는 점의

y

좌표를

g (t)

라 할 때,

lim_{t \to 1} \frac{9 f ^{'} ( t ) - 4 g ^{'} ( t )}{t - 1}

의 값은?

정답

5

(③)

핵심 아이디어

분모가

(t - 1)

이고 극한이 유한하면 분자는

t = 1

에서

0

— 극한값은 분자의 도함수입니다. 1계에서 분자가 정확히 0이 되도록 9·4 계수가 설계됐으므로, 답은 1계가 아니라 2계도함수 조합

9 f^{''} (1) - 4 g^{''} (1)

에 있습니다.

접근법 ① 미분계수의 정의 + 공통 치환

공통

e^{2 x}

치환으로

g

는 명시식

g (t) = t - t^{- 1/2} + 1

f

는 음함수

t = f - f^{- 1/2} + 1

로 두고 미분계수 정의로 1계·2계를 계산합니다. 1계 분자

9 f^{'} (1) - 4 g^{'} (1) = 0

확인 후

9 f^{''} (1) - 4 g^{''} (1) = 2 + 3 = 5

접근법 ② 합성함수의 변화율 (라이프니츠 표기)

프라임 표기 없이 라이프니츠 표기로

\frac{df}{d t} = \frac{df}{d x} \frac{d x}{d t}

처럼 변화율을 분해합니다. 1계에서 분자가 0이라 한 번 더 미분 → 구조 관찰만으로 같은 답 5.

29번 · 미적분 · 수열의 극한 — 등비급수·등차·코사인

난이도 상

문제

모든 항이 정수인 등차수열

{a_{n}}

과 모든 항이 양수인 등비수열

{b_{n}}

이 (가)

a_{1} = b_{1}

a_{4} = b_{2}

(나) 어떤 자연수

k

에 대하여

a_{k} = b_{3}

을 만족시킨다. 급수

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}

이 수렴할 때,

∣ \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} cos (a_{n} π) ∣

의 최솟값을

m

이라 하자.

10 \times m

의 값을 구하시오.

정답

10 m = 54

(

m = \frac{27}{5}

)

핵심 아이디어

a_{n}

이 정수라

cos (a_{n} π) = (- 1)^{a_{n}}

— 코사인은 부호 스위치일 뿐입니다. 부호 패턴은 공차

d

의 홀짝이 정하고, 교대(

1 + r

) 쪽 분모가 더 커서 최솟값이 거기서 나옵니다.

접근법 ① 공차 홀짝 경우 분류

수렴 조건

0 < r < 1

과

b_{3} = a_{k}

정수 조건으로 후보를

k \in {5, 6}

으로 한정하고, 부호가 교대되는 홀수 공차에서 최솟값

m = \frac{27}{5}

→

10 m = 54

접근법 ② 부호를 공비에 흡수

경우를 나누지 않고

(- 1)^{a_{n}}

을 공비 안으로 넣어 단일 등비급수로 만들면 공비가

(- 1)^{d} r

로 바뀝니다.

d

홀수에서 분모가

1 + r

로 최소 → 동일하게

10 m = 54

KILLER · 30번

30번 · 미적분 · 미분법 — 세제곱근 합성함수 미분가능

난이도 최상

문제

최고차항의 계수가

1

인 삼차함수

f (x)

에 대하여

g (x) = 3 x {f (x)}^{2}

이다.

g (x)

가 실수 전체에서 미분가능하고

x = \frac{19}{7}

와

x = 3

에서 극값을 가질 때,

f (5)

의 값을 구하시오.

정답

f (5) = 20

핵심 아이디어

세제곱근은 안의 식이

0

이 되는 점에서만 미분가능성이 깨집니다. 그 점에서 안의 식이 (일차식)³ 완전세제곱 꼴이어야 매끄러우므로,

f

의 근 구조가 강제로 확정됩니다.

접근법 ① 근 구조 확정 + 근과 계수

미분가능 조건에서

f (x) = x (x^{2} + p x + q)

(판별식

< 0

) 로 강제됩니다. 극값 방정식

7 x^{2} + 5 p x + 3 q = 0

의 두 근이

\frac{19}{7}, 3

이라 근과 계수로

p = - 8, q = 19

→

f (5) = 20

접근법 ② 로그미분

곱·세제곱근은 로그미분이 깔끔합니다.

ln g = \frac{1}{3} (ln x + 2 ln f)

로 미분하면

g^{'} = 0 ⟺ f + 2 x f^{'} = 0

— 같은 극값 방정식이 나와

p = - 8, q = 19, f (5) = 20

CONCLUSION

여러 풀이법, 왜 함께 봐야 할까?

한 문제, 두 시선 — 28·29·30번 모두 서로 다른 두 풀이가 같은 답으로 수렴합니다. 정의 기반 풀이와 표기·구조 기반 풀이를 모두 익히면 시험장에서의 선택지가 넓어집니다.

미적분 선택의 핵심은 구조 간파 — 28번은 "분자가 0 → 2계도함수", 29번은 "정수 코사인 = 부호 스위치", 30번은 "세제곱근 매끄러움 = 완전세제곱". 계산 전에 구조를 읽는 힘이 변별을 가릅니다.

30번 킬러 대응 — 세제곱근 미분가능성을 세 그림(수직접선·첨점·직선)으로 판정하면 근의 중복도가 강제됩니다. 영상으로 근 구조 확정 과정을 단계별로 익히길 권장합니다.

FAQ

자주 묻는 질문 (FAQ)

Q1. 2027학년도 6월 모의평가 미적분 28·29·30번은 어떤 문제였나요?

A. 선택과목 미적분의 변별 문항입니다. 28번은 두 지수곡선과 미분계수, 29번은 등비급수와 정수 등차·코사인, 30번은 세제곱근 합성함수의 미분가능성(킬러) 문제입니다.

Q2. 각 문제의 정답은 무엇인가요?

A. 28번은 5(③), 29번은 10m=54(m=27/5), 30번은 f(5)=20입니다.

Q3. 왜 한 문제를 두 가지 방법으로 푸나요?

A. 같은 답에 이르는 서로 다른 시선을 보면 개념의 연결이 깊어지고, 막혔을 때 대안 전략을 떠올리기 쉬워집니다. 28·29·30번 모두 두 풀이가 동일한 답으로 수렴합니다.

Q4. 28번 극한 문제는 어떻게 접근하나요?

A. 분모가 (t-1)이고 극한이 유한하면 분자는 t=1에서 0이어야 하고, 극한값은 분자를 한 번 더 미분한 값입니다. 그래서 답은 2계도함수의 조합에서 나옵니다.

Q5. 30번 세제곱근 문제의 핵심은 무엇인가요?

A. 세제곱근은 안의 식이 0이 되는 점에서만 미분가능성이 깨집니다. 그 점에서 완전세제곱 꼴이어야 매끄럽고, 이 조건이 삼차함수의 근 구조를 확정합니다.

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