2027 6월 모평 · 미적분 · 미분법(합성함수의 미분가능성) · 킬러KILLER
세제곱근이 매끄러우려면, 근의 차수가 3의 배수여야 한다
문제2027학년도 6월 모의평가 · 미적분 30번 · 세제곱근 합성함수 미분가능 (킬러)
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대하여 g(x)=\sqrt[3]{x\{f(x)\}^2}이다.
g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 x=\dfrac{19}{7}와 x=3에서 극값을 가질 때, f(5)의 값을 구하시오. [4점]
정답f(5)=20
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①근 차수 3의 배수 → 형태 확정 → 근과 계수!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① \sqrt[3]{h}가 h=0인 점에서 미분가능하려면 그 점에서 h의 영점 차수가 3의 배수여야 한다(아니면 수직접선).
원리② h(x)=x\{f(x)\}^2에서 x=0은 단순근(1+0=1차 → 3의 배수), 삼차함수의 구조상 0 아닌 다른 실근은 불가 → f(x)=x(x^2+px+q).
극값 조건 f+2xf'=0에서 7x^2+5px+3q=0이 나오고, 근과 계수로 p,q를 확정하라'.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스에 y=g(x)=\sqrt[3]{xf^2}(파란 굵은 선)과 y=f(x)(보라 점선) 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1미분가능 = 근 차수 3의 배수
h(x)=x\{f(x)\}^2. \sqrt[3]{h}가 h=0인 점에서 매끄러우려면 그 점에서 h의 영점 차수가 3의 배수여야 한다.
2x=0은 단순근
x=0에서 h의 차수 =1+2\cdot(\text{0의 중복도}). f(0)\ne0(중복도 0)이면 1차 → 깨짐; 단순근(1)이면 3차 → ✓; 중근(2)이면 5차 → 깨짐. ⇒ x=0은 단순근.
30 아닌 실근은 없다
다른 실근 r\ne0(중복도 \mu)에서 h의 차수 2\mu가 3의 배수 → \mu가 3의 배수라야 하는데 삼차함수엔 불가. ⇒ f(x)=x(x^2+px+q), p^2-4q<0.
4극값 방정식
g^3=xf^2\Rightarrow 3g^2g'=f(f+2xf'). g\ne0에서 g'=0\iff f+2xf'=0. f+2xf'=7x^3+5px^2+3qx=x(7x^2+5px+3q).
5근과 계수 → p,q
극값 \tfrac{19}{7},3이 7x^2+5px+3q=0의 두 근. 합 \tfrac{40}{7}=-\tfrac{5p}{7}\Rightarrow p=-8; 곱 \tfrac{57}{7}=\tfrac{3q}{7}\Rightarrow q=19. (64-76=-12<0 ✓)
6정답
f(x)=x(x^2-8x+19)\Rightarrow f(5)=5(25-40+19)=5\cdot4=20.
접근법 ②로그미분 — 극값 조건이 한 줄로!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① x>0,f>0인 구간에서 \ln g=\tfrac13(\ln x+2\ln f)로 로그를 취하면 극값 조건이 \dfrac{g'}{g}=0에서 자동으로 나온다.
원리② 근 구조(f(x)=x(x^2+px+q))는 풀이 1에서 이미 확정 — 로그미분은 극값 식을 더 빠르게 도출하는 보완 전략이다.
두 풀이는 동일한 방정식 7x^2+5px+3q=0에 도달한다'는 연결을 확인하라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1로그미분
\ln g=\tfrac13(\ln x+2\ln f)\Rightarrow \dfrac{g'}{g}=\tfrac13\!\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2f'}{f}\right).
2극값 조건
g'=0\iff \dfrac{1}{x}+\dfrac{2f'}{f}=0\iff f+2xf'=0\iff 7x^2+5px+3q=0 (풀이 1과 동일).
3정답
근과 계수로 p=-8,\,q=19. f(5)=20.
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