세제곱근이 매끄러우려면, 근의 차수가 3의 배수여야 한다
g=\sqrt[3]{x\{f(x)\}^2}가 어디서든 미분가능하려면 안쪽 h=x f^2의 모든 근에서 차수가 3의 배수여야 합니다. 이 한 조건이 f의 근 구조를 거의 다 정해 버립니다.
최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)에 대하여 g(x)=\sqrt[3]{\,x\{f(x)\}^2\,} 이다.
g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 x=\dfrac{19}{7}와 x=3에서 극값을 가질 때, f(5)의 값을 구하시오. [4점]
미분가능 ⟹ f(x)=x(x^2+px+q), 극값식 7x^2+5px+3q=0
\sqrt[3]{\;}는 안쪽이 0인 점에서 차수가 3의 배수가 아니면 수직접선(첨점)으로 미분불가.
x=0: f(0)\ne0이면 h\sim x^1 → 깨짐. ⇒ x=0은 단순근(중근이면 5차라 또 깨짐).
다른 실근 r: h의 차수 2\mu가 3의 배수 → 삼차함수에선 불가 ⇒ 다른 실근 없음. 따라서 f(x)=x(x^2+px+q), p^2-4q<0.
g\ne0에서 g'=0\iff f+2xf'=0\iff x(7x^2+5px+3q)=0. 극값 \tfrac{19}{7},3이 7x^2+5px+3q=0의 두 근.
근과 계수: 합 \tfrac{19}{7}+3=\tfrac{40}{7}=-\tfrac{5p}{7}\Rightarrow p=-8; 곱 \tfrac{57}{7}=\tfrac{3q}{7}\Rightarrow q=19 (판별식 64-76<0 ✓).
▶핵심을 눈으로 확인
확정된 f(x)=x(x^2-8x+19)로 g(x)=\sqrt[3]{x f^2}를 그립니다. g가 어디서도 꺾이지 않고 x=\tfrac{19}{7}\approx2.714·x=3에서 극값을 갖는지 확인하세요. 토글을 켜면 잘못된 f(f(0)\ne0)에서 x=0에 첨점이 생겨 미분불가가 됨을 보여 줍니다.
1풀이 1 — 근 구조 확정 + 근과 계수
세제곱근의 미분가능 조건을 “안쪽 식의 근의 차수”로 번역하면 f가 결정됩니다.
2풀이 2 — 로그미분
x>0,\,f>0인 구간에서 로그를 취하면 극값 조건이 같은 식으로 나옵니다.
검산 — 미분가능·극값 위치 재확인
f(x)=x(x^2-8x+19): x^2-8x+19의 판별식 64-76<0이라 항상 양수. 그러므로 g=x\cdot(x^2-8x+19)^{2/3}는 x=0(단순근)에서도 매끄러워 실수 전체에서 미분가능 ✓. 극값식 7x^2-40x+57=0의 두 근이 x=\tfrac{19}{7},\,3 ✓ (위 그래프의 amber 마커). f(5)=20 ✓.
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