2027 7월 학평 · 확률과통계 · 중복조합 · 조건부 개수세기
검은 공이 앉는 상자 수부터 정하면 흰 공은 0개 또는 1개
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 확률과통계 28번 · 상자에 공 나눠 담기
빈 상자 4개가 일렬로 놓여 있고, 검은 공 4개, 흰 공 6개가 있다. 이 10개의 공을 상자에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수는? (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않고, 공이 들어 있지 않은 상자가 있을 수 있다.)
(가) 검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 2 이상이다.
(나) 검은 공이 들어 있는 상자에 들어 있는 흰 공의 개수는 1 이하이다.
① 580 ② 592 ③ 604 ④ 616 ⑤ 628
정답628 (⑤)
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①검은 공 배치 세 유형(4 / 3+1 / 2+2)으로 분류!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 조건 (가)로 검은 공이 있는(점유) 상자는 최대 2개뿐 — 검은 공 4개를 상자에 나누는 방법은 (i) 한 상자에 4개, (ii) 두 상자에 3+1개, (iii) 두 상자에 2+2개, 이 세 유형으로 끝난다.
원리② 조건 (나)로 점유 상자마다 흰 공은 0개 또는 1개만 들어갈 수 있고, 남은 흰 공은 빈 상자에 중복조합(H)으로 자유 배분한다.
점유 상자 개수와 그 상자들의 흰 공 개수(0 또는 1)'만 결정하면 나머지는 기계적 중복조합 계산이다.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
없음(조합/급수). 본 HTML에는 정적 표(세 유형별 경우의 수)만 있고 캔버스 인터랙티브 없음.
이 문항은 조합·급수·이산 구조라 직접 조작형 그래프 대신 표·도식으로 이해합니다. (위 단계별 풀이 참고)
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1검은 공 배치 세 유형
검은 공 4개 모두 한 상자에: 상자 선택 _4\mathrm C_1=4가지(점유 1개, 빈 3개). 3개+1개로 두 상자에: _4\mathrm C_1\times{}_3\mathrm C_1=12가지(점유 2개, 빈 2개). 2개+2개로 두 상자에: _4\mathrm C_2=6가지(점유 2개, 빈 2개).
2(i) 점유 1개·빈 3개인 경우
점유 상자에 흰 공 0개: 나머지 흰 공 6개를 빈 상자 3개에 중복조합 {}_3\mathrm H_6={}_8\mathrm C_6=28. 흰 공 1개: {}_1\mathrm C_1=1로 그 상자에 넣고 남은 5개를 {}_3\mathrm H_5={}_7\mathrm C_5=21로 배분. 합 28+21=49, 배치 4가지 곱해 4\times49=196.
3(ii),(iii) 점유 2개·빈 2개인 경우
점유 상자 2개의 흰 공 배분은 (검은 공을 3+1로 나눴든 2+2로 나눴든) 항상 같다: 둘 다 0개 {}_2\mathrm H_6={}_7\mathrm C_6=7, 한 상자만 1개({}_2\mathrm C_1=2가지) 나머지 5개 {}_2\mathrm H_5={}_6\mathrm C_5=6이므로 2\times6=12, 둘 다 1개({}_2\mathrm C_2=1) 나머지 4개 {}_2\mathrm H_4={}_5\mathrm C_4=5. 합 7+12+5=24. (ii) 3+1형: 12\times24=288. (iii) 2+2형: 6\times24=144.
4정답
196+288+144=628 → 보기 ⑤.
접근법 ②점유 상자 수 k와 '흰 공 1개 받는 점유상자 수' j로 통합!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① 점유 상자 수 k(=1 또는 2)와 빈 상자 수(4-k)만 정해지면, 점유 상자 중 흰 공 1개를 받는 상자 수 j\ (0\le j\le k)에 대해 남은 흰 공 6-j개를 빈 상자에 중복조합으로 배분하는 식은 검은 공을 3+1로 나눴든 2+2로 나눴든 똑같다.
원리② 그래서 '검은 공 배치(상자 선택) 방법 수'와 '흰 공 배분 공통합'을 따로 구해 곱하면, ①②③으로 나눠 나열하지 않고도 같은 답을 얻는다.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
없음(조합/급수). 접근법①과 동일.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1공통 흰 공-배분 합 (k별로 한 번씩만 계산)
k=1(빈 상자 3개): \displaystyle\sum_{j=0}^{1}{}_1\mathrm C_j\times{}_{3}\mathrm H_{6-j}={}_3\mathrm H_6+{}_3\mathrm H_5=28+21=49.
k=2(빈 상자 2개): \displaystyle\sum_{j=0}^{2}{}_2\mathrm C_j\times{}_{2}\mathrm H_{6-j}={}_2\mathrm H_6+2\times{}_2\mathrm H_5+{}_2\mathrm H_4=7+12+5=24.
k=2(빈 상자 2개): \displaystyle\sum_{j=0}^{2}{}_2\mathrm C_j\times{}_{2}\mathrm H_{6-j}={}_2\mathrm H_6+2\times{}_2\mathrm H_5+{}_2\mathrm H_4=7+12+5=24.
2검은 공 배치(상자 선택) 방법 수
k=1: 4가지. k=2: 3+1 분배 12가지 + 2+2 분배 6가지 = 18가지.
3결합
k=1 기여: 4\times49=196. k=2 기여: 18\times24=432(이는 288+144와 같다).
4정답
196+432=628 → 보기 ⑤ (풀이 1과 일치).
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