KMEDU 모의고사 분석

2027 6월 모평 기하 28·29·30번 분석 — 이차곡선·벡터 변별 3문항 풀이

2027학년도 6월 모의평가 · 수학 기하(선택) · 중계동 KMEdu수학학원

2027학년도 6월 모의평가 기하(선택)의 변별 문항 28·29·30번을 문제·정답·핵심 아이디어와 함께 정리했습니다. 문항마다 핵심 한 장과 단계별 풀이 흐름, 그리고 다른 시선의 풀이를 담았습니다.

OVERVIEW

기하 28·29·30번, 무엇을 어떻게 푸나?

기하 선택의 변별은 정의를 식으로 옮기고, 비율로 모양을 정한 뒤 크기를 맞추는 힘에서 갈립니다. 아래 세 문항은 모두 표준 풀이와 통찰 풀이가 같은 답으로 수렴합니다.

문항

단원

정답

풀이 전략 (2가지)

28번

이차곡선 — 타원 초점현 (킬러)

b²=8

정의+코사인법칙 · 좌표·넓이

29번

이차곡선 — 쌍곡선·포물선·준선

p+q=14

정의식 비교 · 쌍곡선 대칭

30번

평면벡터 — 내적 최대·최소 (킬러)

p+q=29

좌표+삼각합성 · 벡터 사영

SOLUTIONS

문항별 문제 · 핵심 한 장 · 풀이

각 문항의 문제·정답·핵심 아이디어를 보고, 핵심 한 장과 단계별 풀이 흐름으로 전개를 확인하세요.

KILLER · 28번

28번 · 기하 · 이차곡선 — 타원의 초점현

난이도 최상

문제

두 초점이

F (c, 0)

F^{'} (- c, 0)

(c > 0)

인 타원 위 제1사분면 점

P

, 제4사분면 점

Q

에 대하여 점

F

가 선분

P Q

위에 있고

\overline{P F} : \overline{QF} = 1 : 2

\overline{P F} : \overline{F F^{'}} = 6 : 16

이다. 삼각형

F F^{'} Q

의 넓이가

45

일 때

b^{2}

의 값은? (단,

a, b > 0

)

정답

b^{2} = 8

핵심 아이디어

F

가

P Q

위에 있으므로

P Q

는 초점을 지나는 현입니다. 외우는 공식 없이 타원의 정의(두 초점까지 거리의 합

= 2 a

)와 코사인법칙만으로 두 초점거리의 관계를 끌어냅니다. 그 관계와

b^{2} = a^{2} - c^{2}

로

c

와

a

의 비(모양)를 정하고, 마지막에 삼각형 넓이로 크기

c

를 정합니다.

핵심 한 장 — 문제·아이디어·풀이 흐름 요약

풀이 흐름

두 초점거리를

c

로

\overline{P F} = \frac{6}{8} c

\overline{QF} = \frac{6}{4} c

정의+코사인법칙

\frac{b ^{2}}{P F} = a - c cos θ

\frac{b ^{2}}{QF} = a + c cos θ

두 식 더해 소거

b^{2} (\frac{1}{P F} + \frac{1}{QF}) = 2 a

→

b^{2} = \frac{a c}{6}

c

와

a

의 비 (모양)

\frac{a c}{6} = a^{2} - c^{2} \Rightarrow 6 t^{2} + t - 6 = 0 (t = \frac{c}{a})

넓이로 크기 → 정답

c ∣ y_{Q} ∣ = \frac{5}{4} c^{2} = 45 \Rightarrow c^{2} = 16 \Rightarrow b^{2} = 8

다른 풀이 — 4단계에서

Q

를 좌표로 두면 정의로

\overline{Q F^{'}}^{2} - \overline{QF}^{2} = 4 c x_{Q} = 4 a (a - \overline{QF})

에서

x_{Q} = \frac{3}{4} c

, 거리공식으로

∣ y_{Q} ∣ = \frac{5}{4} c

를 바로 얻어 넓이를 계산합니다. 코사인법칙으로

cos θ = - \frac{1}{6}

를 구해

\frac{1}{2} \overline{QF} \cdot \overline{F F^{'}} sin θ

로 넓이를 내도 같은 결과입니다.

29번 · 기하 · 이차곡선 — 쌍곡선·포물선·준선

난이도 상

문제

두 초점이

F (3, 0)

F^{'} (- 3, 0)

인 쌍곡선

C_{1}

의 음수인 꼭짓점을

A (- a, 0)

, 초점이

F

이고 꼭짓점이

A

인 포물선을

C_{2}

, 그 준선을

l

이라 하자.

C_{1}

과

C_{2}

의 제1사분면 교점의

y

좌표와,

C_{1}

과

l

의 제2사분면 교점의

y

좌표가 같을 때

a^{2} = \frac{q}{p}

이다.

p + q

의 값을 구하시오. (단,

p, q

는 서로소인 자연수)

정답

p + q = 14

(

a^{2} = \frac{9}{5}

)

핵심 아이디어

초점과 꼭짓점이 주어지면 쌍곡선·포물선·준선의 식이 정의로 모두 결정됩니다. 남은 미지수

a

는 두 교점의

y^{2}

을 같다고 놓는 방정식 하나로 정해집니다.

핵심 한 장 — 문제·아이디어·풀이 흐름 요약

풀이 흐름

정의로 세 식

C_{1} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{9 - a ^{2}} = 1

C_{2} : y^{2} = 4 (3 + a) (x + a)

l : x = - (2 a + 3)

두 교점의

y^{2}

등치

(a + 3) (5 a^{2} - 9) = 0

a > 0

→ 인수 결정

5 a^{2} - 9 = 0 \Rightarrow a^{2} = \frac{9}{5}

정답

p = 5, q = 9 \Rightarrow p + q = 14

다른 풀이 — 쌍곡선은

y

축 대칭이라 같은 높이의 두 교점은

x = \pm (2 a + 3)

로 대칭입니다. 이 대칭을 쓰면 복잡한

y^{2}

식 없이

4 = \frac{9 - a ^{2}}{a ^{2}}

한 줄로

5 a^{2} = 9

에 도달합니다.

KILLER · 30번

30번 · 기하 · 평면벡터 — 내적의 최대·최소

난이도 최상

문제

\overline{A B} = \overline{A C} = 2

∠ C A B > \frac{π}{2}

인 이등변삼각형과

A B

의 수직이등분선 위의 점

D

가

B A \cdot B C = C B \cdot C D

2 A C \cdot A D = D A \cdot D B

를 만족한다.

A B

를 지름으로 하는 원 위의 점

X

에 대하여

D X \cdot B C

의 최댓값

M

, 최솟값

m

∣ M \times m ∣ = \frac{q}{p}

일 때

p + q

를 구하시오.

정답

p + q = 29

(

∣ M \times m ∣ = \frac{20}{9}

)

핵심 아이디어

추상적인 벡터 내적은 좌표로 내려 곱·합으로 바꾸고, 원 위 점의 내적은 삼각함수 합성(또는 사영)으로 최대·최소를 구합니다.

X = (cos φ, sin φ)

→

R cos (φ - ψ) + k

꼴이면

M m = k^{2} - R^{2}

핵심 한 장 — 문제·아이디어·풀이 흐름 요약

풀이 흐름

대칭 좌표

A (- 1, 0), B (1, 0), D (0, d), C (- 1 + 2 cos α, 2 sin α)

조건 ① → 끈

d sin α = 1 - cos α

조건 ② → 확정

d^{2} = 5, cos α = - \frac{2}{3}, sin α = \frac{5}{3}

원 위 내적 합성

R = 1 0^{2} + (25)^{2} = 230

정답

M m = \frac{100 - 120}{9} = - \frac{20}{9} \Rightarrow p + q = 29

다른 풀이 — 원 위 점의 내적은 “중심에서의 내적 ± 반지름방향 성분”이므로

M, m = (O - D) \cdot B C \pm ∣ B C ∣

. 삼각함수 합성 없이

M m = (D \cdot B C)^{2} - ∣ B C ∣^{2} = \frac{100 - 120}{9}

로 사영 한 번에 끝납니다.

CONCLUSION

기하 변별, 어떻게 대비할까?

기하 선택의 변별은 정의를 식으로 옮기는 힘 — 28번은 초점현 거리 관계, 29번은 초점·꼭짓점의 정의식, 30번은 추상 벡터를 좌표로 번역하는 데서 갈립니다.

비율은 모양, 넓이·길이는 크기 — 28·29번 이차곡선은 “비율로 모양을 정하고 마지막에 크기를 맞추는” 2단 구조가 공통입니다. 이 분리를 의식하면 식이 단순해집니다.

한 문제, 두 시선 — 세 문항 모두 표준 풀이와 통찰 풀이(대칭·사영 등)가 같은 답으로 수렴합니다. 두 시선을 함께 보면 시험장에서 막혔을 때 대안을 떠올리기 쉽습니다.

FAQ

자주 묻는 질문 (FAQ)

Q1. 2027학년도 6월 모의평가 기하 28·29·30번은 어떤 문제였나요?

A. 선택과목 기하의 변별 문항입니다. 28번은 타원 초점현(킬러급), 29번은 쌍곡선·포물선·준선의 교점, 30번은 평면벡터 내적의 최대·최소(킬러급) 문제입니다.

Q2. 각 문제의 정답은 무엇인가요?

A. 28번은

b^{2} = 8

, 29번은

p + q = 14

(

a^{2} = \frac{9}{5}

), 30번은

p + q = 29

(

∣ M \times m ∣ = \frac{20}{9}

)입니다.

Q3. 28번 타원 문제는 어떻게 접근하나요?

A. 점

F

가

P Q

위에 있으므로

P Q

는 초점현입니다. 타원의 정의와 코사인법칙으로 비율에서 모양(

c

와

a

의 비)을 정하고, 마지막에 삼각형 넓이로 크기

c

를 맞추면

b^{2} = 8

이 나옵니다.

Q4. 30번 벡터 문제의 핵심은 무엇인가요?

A. 추상 벡터 조건을 대칭 좌표로 내려

d^{2} = 5

cos α = - \frac{2}{3}

을 확정한 뒤, 원 위 점의 내적을 삼각함수 합성 또는 사영으로 다루면

M m = - \frac{20}{9}

을 얻습니다.

Q5. 이 문항들로 무엇을 점검해야 하나요?

A. 이차곡선의 정의(거리 관계·초점현·준선)를 식으로 옮기는 능력과, 평면벡터 내적을 좌표·합성으로 최적화하는 계산력입니다.

KMEDU 모의고사 분석 · 2027학년도 6월 모의평가 기하(선택)
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기하 28·29·30번, 무엇을 어떻게 푸나?

문항별 문제 · 핵심 한 장 · 풀이

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