2027 7월 학평 · 공통수학 · 미분가능성과 극값
미분 불가능한 점이 딱 하나, 그 조건이 계수를 다 잡아준다
문제2027학년도 7월 고3 학평 · 공통 15번 · 절댓값이 낀 함수의 미분가능성·극값
두 실수 a, b에 대하여 두 함수
f(x)=\dfrac16x^3+\dfrac12ax^2+b,\qquad g(x)=\dfrac23x^3+ax^2
이 있다. 함수 h(x)를
h(x)=f(x)+\lvert f(x)-g(x)\rvert
라 할 때, 함수 h(x)는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 h(x)는 x=-1에서만 미분가능하지 않다.
(나) 함수 h(x)는 x=0에서 극대이고 x=\alpha, x=\beta\ (\alpha<\beta)에서 극소이다.
h(\alpha)\ge h(\beta)일 때, a+b의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하자. M-m의 값은? [4점]
정답3/2
먼저 스스로 풀어보세요. 막히면 아래 접근법을 펼치고, 그 안의 핵심 아이디어 → 그래프로 이해 → 단계별 풀이를 하나씩 열어 확인하세요.
접근법 ①p(x)=f-g로 치환, 부호변화가 1개뿐이어야 한다!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① p(x)=f(x)-g(x)로 두면 h=f+\lvert p\rvert는 p(x)\ne0인 모든 곳에서 미분가능. 미분불가능점은 오직 p가 부호를 바꾸는 근에서만 생긴다.
원리② 'x=-1에서만' 미분불가능 ⟺ p(x)=0의 실근 중 x=-1만 홑근(부호변화)이고, 나머지는 근이 아예 없거나(판별식 \le0) 부호를 바꾸지 않는다.
p(-1)=0으로 b를 잡고, 남는 이차식의 판별식을 \le0으로 눌러 a의 범위를 먼저 좁힌 뒤, 극값 조건 (나)로 다시 좁히기'가 이 문제의 뼈대다.
그래프 및 도형으로 이해하기직접 조작·시각화
아래 인터랙티브를 직접 조작해 보세요. 캔버스: y=h(x) 곡선(파랑), x=-1에서의 꺾임(분홍 점), x=0의 극대점(주황), x=\alpha=-1,\ x=\beta=-a의 극소점(초록) 표시.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1p(x)=f(x)-g(x)로 미분가능성 번역
p(x)=-\dfrac12x^3-\dfrac12ax^2+b. h(x)=f(x)+\lvert p(x)\rvert는 p(x)\ne0인 모든 실수 x에서 미분가능하다. 조건 (가)에 의해 p(-1)=0이고 p'(-1)\ne0(홑근·부호변화).
2b를 a로, 나머지 근은 판별식으로 차단
p(-1)=\tfrac12-\tfrac12a+b=0에서 b=\tfrac12a-\tfrac12. p(x)=-\tfrac12(x+1)\{x^2+(a-1)x-(a-1)\}로 인수분해되고, 이차식이 실근을 가지면 그 근에서도 부호가 바뀌어 조건 (가)를 어긴다. 판별식 D=(a-1)(a+3)\le0\Rightarrow-3\le a\le1.
3h(x) 두 조각과 극값 위치
x\le-1에서 h=2f-g=-\tfrac13x^3+a-1, x>-1에서 h=g=\tfrac23x^3+ax^2. h'(x)=2x(x+a)\ (x>-1)이 x=0에서 극대이려면 a<0; 그러면 극소는 x=-1(=\alpha)과 x=-a(=\beta).
4h(\alpha)\ge h(\beta)로 a 범위 확정
h(\alpha)=h(-1)=a-\tfrac23, h(\beta)=h(-a)=\tfrac13a^3. a-\tfrac23\ge\tfrac13a^3\Leftrightarrow(a-1)^2(a+2)\le0\Leftrightarrow a=1\text{ 또는 }a\le-2. a<0이므로 a\le-2; -3\le a\le1과 합쳐 -3\le a\le-2.
5정답
a+b=\tfrac32a-\tfrac12은 a의 증가함수이므로 M(a=-2)=-\tfrac72, m(a=-3)=-5. M-m=-\tfrac72-(-5)=\dfrac32.
접근법 ②극값을 직접 미분해서 대수로 확인!
핵심 아이디어핵심 원리·연결
원리① h(x)를 두 조각(각각 삼차식)으로 쓴 뒤, 각 조각의 도함수로 극값의 위치를 바로 확정한다.
원리② a+b가 a의 일차식이므로, a가 만족해야 하는 범위의 양 끝점만 대입하면 M,m이 즉시 나온다.
그래프 감각 없이도, h'(x)를 두 번 계산하고 부등식 (a-1)^2(a+2)\le0을 인수분해로 풀면 끝난다'는 것을 확인하라.
그래프 및 도형으로 이해하기접근법 ①과 공유
접근법①과 동일한 인터랙티브 캔버스 공유.
→ 위 접근법 ①의 ‘그래프 및 도형으로 이해하기’를 함께 참고하세요.
단계별 풀이식 전개 끝까지
단계별 상세 풀이
1두 조각의 도함수
x<-1에서 h'(x)=-x^2\le0(항상 감소), x>-1에서 h'(x)=2x^2+2ax=2x(x+a). a<0이면 x=0에서 부호가 +\to-(극대), x=-a>0에서 -\to+(극소).
2x=-1도 극소
x<-1에서 감소, x>-1에서 h'(-1^+)=2(-1)(-1+a)=2(1-a)>0(∵a<0)이므로 x=-1에서 감소→증가로 극소. 즉 \alpha=-1, \beta=-a.
3부등식 (a-1)^2(a+2)\le0 풀기
h(-1)\ge h(-a)를 정리하면 a^3-3a+2\le0, 즉 (a-1)^2(a+2)\le0. (a-1)^2\ge0이 항상 성립하므로 a+2\le0 또는 a=1, 즉 a\le-2 또는 a=1.
4정답
a<0이고 -3\le a\le1(판별식 조건)이므로 a=1은 탈락, -3\le a\le-2만 남는다. a+b=\tfrac32a-\tfrac12에 a=-2,-3을 대입하면 M-m=-\tfrac72-(-5)=\dfrac32. 풀이 1과 동일.
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PATTERN LAB · 2027 7월 학평 공통 15번 · 인터랙티브 학습형 풀이
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